제 10장: 다루기 어려운 문제와 근사 알고리즘

이전 장에서 우리는 문제를 효율적으로 해결하기 위한 다양한 알고리즘을 탐구했습니다. 그러나 효율적인 알고리즘이 알려지지 않은 많은 문제들이 있습니다. 이 장에서는 NP-완전성 이론에 대해 논의할 것입니다. 이 이론은 문제가 다루기 어려울 가능성이 있다는 것을 보여줍니다. 즉, 그 문제를 해결할 수 있는 효율적인 알고리즘이 없을 가능성이 있습니다. 또한 NP-완전 문제를 다루는 기법, 즉 근사 알고리즘과 지역 탐색 알고리즘에 대해 탐구할 것입니다.

P와 NP 클래스

NP-완전성을 이해하기 위해서는 먼저 두 가지 중요한 문제 클래스인 P와 NP를 정의해야 합니다.

P(다항 시간) 클래스는 다항 시간 내에 해결될 수 있는 모든 의사결정 문제로 구성됩니다. 의사결정 문제는 예/아니오 답변을 가지는 문제입니다. 예를 들어, 그래프에 해밀턴 순환이 존재하는지 여부를 결정하는 문제는 의사결정 문제입니다. 의사결정 문제가 P에 속하면, 입력 크기의 다항 함수 내에서 문제를 해결할 수 있는 알고리즘이 존재합니다.

NP(비결정적 다항 시간) 클래스는 해결책을 다항 시간 내에 검증할 수 있는 모든 의사결정 문제로 구성됩니다. 예를 들어, 해밀턴 순환 문제는 NP에 속합니다. 주어진 그래프와 해밀턴 순환 후보에 대해 다항 시간 내에 해당 순환이 실제로 해밀턴 순환인지 쉽게 확인할 수 있기 때문입니다.

P는 NP의 부분집합이라는 것은 명확합니다. 다항 시간 내에 해결될 수 있는 문제는 당연히 다항 시간 내에 검증될 수 있습니다. 그러나 P = NP인지 여부는 아직 열린 문제입니다. 대부분의 전문가들은 P ≠ NP, 즉 NP에 속하지만 P에 속하지 않는 문제가 존재한다고 믿고 있습니다. 그러나 이를 증명하는 것은 이론 컴퓨터 과학 분야의 큰 돌파구가 될 것입니다.

NP-완전성

의사결정 문제 X가 NP-완전이려면 다음 두 가지 조건을 만족해야 합니다:

1여기는 한국어 번역입니다:

. X는 NP에 속하고, 2. NP에 속하는 모든 문제는 다항식 시간 내에 X로 환원될 수 있다.

문제 Y가 문제 X로 환원 가능하다는 것은, Y의 임의의 인스턴스를 X의 인스턴스로 변환할 수 있고, 이때 Y의 인스턴스에 대한 답변이 "예"이면 변환된 X의 인스턴스에 대한 답변도 "예"라는 것을 의미한다.

NP-완전성 개념은 1971년 Stephen Cook과 Leonid Levin에 의해 독립적으로 소개되었다. 처음으로 NP-완전로 밝혀진 문제는 부울 만족성 문제(SAT)였다. 그 후 많은 다른 문제들이 SAT나 다른 알려진 NP-완전 문제들로 환원되면서 NP-완전로 밝혀졌다.

잘 알려진 NP-완전 문제들에는 다음과 같은 것들이 있다:

외판원 문제(TSP): 도시들과 그들 사이의 거리가 주어졌을 때, 각 도시를 정확히 한 번씩 방문하는 최단 경로를 찾는 문제.
배낭 문제: 무게와 가치가 주어진 물품들과 무게 제한이 있는 배낭이 주어졌을 때, 배낭에 담을 수 있는 최대 가치의 물품 부분집합을 찾는 문제.
그래프 색칠 문제: 주어진 그래프에서 인접한 정점들이 서로 다른 색으로 칠해지도록 하는 최소 색의 수를 찾는 문제.

NP-완전성의 의의는, NP-완전 문제 중 하나라도 다항식 시간에 해결될 수 있다면 NP에 속하는 모든 문제가 다항식 시간에 해결될 수 있다는 것(즉, P = NP)을 의미한다. 그러나 수십 년간의 노력에도 불구하고 NP-완전 문제에 대한 다항식 시간 알고리즘은 발견되지 않았다. 이는 NP-완전 문제가 본질적으로 어려운 문제라는 것을 시사한다(그러나 이를 증명하지는 못했다).

근사 알고리즘

NP-완전 문제는 실용적으로 다루기 어려운 것으로 여겨지므로, 이러한 문제에 직면했을 때 근사 알고리즘을 사용하곤 한다. 근사 알고리즘은 최적 해에 일정 배수 이내의 해를 찾는 알고리즘이다.

예를 들어, 정점 커버 문제를 생각해 보자: 주어진 그래프에서 모든 간선을 커버하는 최소 정점 집합을 찾는 문제. 이 문제는 NP-완전이지만, 근사 알고리즘을 사용하면 최적 해의 2배 이내의 해를 다항식 시간에 찾을 수 있다.여기는 한국어 번역본입니다. 코드 부분은 번역하지 않고 주석만 번역했습니다.

정점의 최소 집합으로, 각 간선이 최소 한 개의 정점에 연결되어 있는 문제입니다. 이 문제는 NP-완전 문제입니다. 그러나 최적의 정점 커버보다 크기가 최대 2배인 정점 커버를 찾는 간단한 근사 알고리즘이 있습니다:

빈 집합 C를 초기화합니다.
그래프에 미커버된 간선이 있는 동안:
- 임의의 미커버된 간선 (u, v)를 선택합니다.
- u와 v를 모두 C에 추가합니다.
- u 또는 v에 연결된 모든 간선을 그래프에서 제거합니다.
C를 반환합니다.

이 알고리즘은 다항 시간에 실행되며, 항상 최적의 정점 커버보다 크기가 최대 2배인 정점 커버를 찾습니다. 각 반복에서 알고리즘은 한 간선을 커버하기 위해 두 개의 정점을 선택하지만, 최적 솔루션은 이 두 정점 중 하나만 선택해야 하기 때문입니다.

근사 알고리즘은 다항 시간에 실행되면서도 보장된 품질 수준을 제공하므로 실제 사용에 많이 활용됩니다. 알고리즘의 근사 비율은 알고리즘이 찾은 솔루션의 크기와 최적 솔루션의 크기 간의 최악의 경우 비율입니다.

지역 탐색 알고리즘

NP-완전 문제를 다루는 또 다른 접근법은 지역 탐색 알고리즘을 사용하는 것입니다. 지역 탐색 알고리즘은 초기 솔루션에서 시작하여 작은 지역적 변경을 통해 반복적으로 솔루션을 개선합니다.

예를 들어, 외판원 문제(TSP)를 고려해 보겠습니다. TSP에 대한 간단한 지역 탐색 알고리즘은 다음과 같습니다:

임의의 순회를 시작점으로 선택합니다.
개선이 가능한 동안:
- 현재 순회에서 두 도시를 교환하는 모든 가능한 방법을 고려합니다.
- 순회 길이를 개선할 수 있는 교환이 있다면 해당 교환을 수행합니다.
현재 순회를 반환합니다.

이 알고리즘은 무작위 순회로 시작하여 도시 쌍을 교환하여 순회를 반복적으로 개선합니다. 더 이상 개선할 수 없는 순회가 지역 최적해가 됩니다.국소 탐색 알고리즘은 종종 빠르게 좋은 솔루션을 찾을 수 있지만, 전역 최적해를 찾는 것은 보장되지 않습니다. 이들은 전역 최적해와 거리가 먼 국소 최적해에 빠질 수 있습니다. 이를 완화하기 위해 다음과 같은 기술들을 사용할 수 있습니다:

다양한 초기 솔루션으로 국소 탐색을 여러 번 실행하기.
국소 최적해에서 벗어나기 위해 일시적으로 솔루션을 악화시키는 이동을 허용하기.
현재 솔루션에 대한 더 큰 변화를 고려하는 복잡한 이웃 구조 사용하기.

국소 탐색 알고리즘은 근사 알고리즘 및 启发式과 같은 다른 기술과 결합하여 NP-완전 문제의 큰 인스턴스를 해결하는 데 널리 사용됩니다.

결론

NP-완전성 이론은 특정 계산 문제의 본질적인 어려움을 이해하는 틀을 제공합니다. NP-완전 문제는 효율적인 알고리즘을 가질 가능성이 낮다고 여겨집니다.

실제 NP-완전 문제에 직면할 때, 우리는 종종 근사 알고리즘과 국소 탐색 알고리즘에 의지합니다. 근사 알고리즘은 다항식 시간에 실행되면서도 솔루션 품질의 보장 수준을 제공합니다. 국소 탐색 알고리즘은 초기 솔루션을 반복적으로 개선하여 빠르게 좋은 솔루션을 찾을 수 있습니다.

NP-완전성 이론과 NP-완전 문제를 다루는 기술을 이해하는 것은 실제 최적화 문제를 다루는 사람에게 필수적입니다. 우리는 NP-완전 문제를 최적으로 해결할 수 없지만, 근사 알고리즘과 국소 탐색 알고리즘을 사용하여 충분히 좋은 솔루션을 찾을 수 있습니다.

우리가 직면하는 문제의 크기와 복잡성이 계속 증가함에 따라, NP-완전성을 이해하고 다루는 것의 중요성은 더욱 커질 것입니다. 이 장에서 다룬 기술을 숙달함으로써, 여러분은 가장 도전적이고 중요한 컴퓨터 과학 문제들을 해결할 수 있는 준비가 될 것입니다.Here is the Korean translation of the provided Markdown file, with the code left untranslated:

과학과 그 너머

서론

과학은 우리가 세상을 이해하고 설명하는 데 도움을 줍니다. 하지만 과학만으로는 모든 것을 설명할 수 없습니다. 우리는 과학 외에도 다른 방법으로 세상을 이해할 수 있습니다.

과학의 한계

과학은 객관적이고 실증적인 방법을 사용하지만, 이것만으로는 인간의 경험, 감정, 가치관 등을 설명하기 어렵습니다. 과학은 자연 현상을 설명하는 데 도움을 주지만, 인간의 삶 전체를 설명하기에는 부족합니다.

# 이 코드는 과학적 방법을 사용하여 자연 현상을 설명합니다.
import numpy as np
 
def calculate_force(mass, acceleration):
    return mass * acceleration

과학 외의 방법

과학 외에도 철학, 종교, 예술 등 다양한 방법으로 세상을 이해할 수 있습니다. 이러한 방법들은 과학과는 다른 관점에서 세상을 바라보며, 과학으로는 설명할 수 없는 부분을 보완할 수 있습니다.

결론

과학은 중요하지만, 과학만으로는 세상을 완전히 이해할 수 없습니다. 우리는 과학과 함께 다른 방법들을 통해 세상을 더 깊이 이해할 수 있습니다.

Chapter 9 Algorithm Design Paradigms Divide and Conquer Chapter 1 Introduction to Gpu Chip Design