9장: 알고리즘 설계 패러다임

이전 장에서 우리는 정렬, 검색, 그래프 탐색, 문자열 처리와 같은 특정 문제를 해결하기 위한 다양한 알고리즘을 탐구했습니다. 이러한 알고리즘들은 응용 분야와 구현 방식이 다양하지만, 많은 경우 공통적인 기본 설계 원칙이나 패러다임을 공유하고 있습니다.

이 장에서는 세 가지 기본적인 알고리즘 설계 패러다임인 분할 정복, 탐욕 알고리즘, 동적 프로그래밍을 살펴볼 것입니다. 이러한 패러다임은 다양한 문제를 해결하기 위한 일반적인 접근 방식을 제공합니다. 이러한 패러다임을 이해함으로써 우리는 알고리즘의 구조에 대한 통찰력을 얻고, 우리가 직면하는 새로운 문제에 대한 새로운 알고리즘을 개발할 수 있습니다.

분할 정복

분할 정복 패러다임은 효율적인 알고리즘을 설계하기 위한 강력하고 널리 사용되는 접근 방식입니다. 기본 아이디어는 문제를 더 작은 하위 문제로 분할하고, 이러한 하위 문제를 재귀적으로 해결한 다음, 그 해결책을 결합하여 원래 문제를 해결하는 것입니다.

전형적인 분할 정복 알고리즘은 다음의 세 단계로 구성됩니다:

분할(Divide): 문제가 직접 해결할 수 있을 만큼 작다면 해결한다. 그렇지 않으면 문제를 더 작은 하위 문제로 분할한다.
정복(Conquer): 각 하위 문제를 재귀적으로 해결한다.
결합(Combine): 하위 문제의 해결책을 결합하여 원래 문제의 해결책을 얻는다.

분할 정복 알고리즘의 효과는 각 재귀 단계에서 문제의 크기를 일정 비율로 줄일 수 있다는 점에 있습니다. 이는 종종 로그 시간 또는 다항 로그 시간 복잡도의 알고리즘으로 이어집니다.

병합 정렬: 전형적인 분할 정복 알고리즘

분할 정복 알고리즘의 가장 잘 알려진 예 중 하나는 병합 정렬입니다. 우리는 2장에서 병합 정렬을 자세히 다루었습니다. 병합 정렬은 배열을 두 부분으로 나누고, 각 부분을 재귀적으로 정렬한 다음, 정렬된 두 부분을 병합하는 방식으로 배열을 정렬합니다.

다음은 병합 정렬의 높은 수준의 설명입니다:병합 정렬 알고리즘:

function mergesort(array):
    # 배열의 길이가 1 이하이면 그대로 반환
    if array.length <= 1:
        return array
    else:
        # 배열을 중간 지점에서 분할
        mid = array.length / 2
        left = mergesort(array[0:mid])
        right = mergesort(array[mid:])
        # 분할된 두 배열을 병합
        return merge(left, right)

merge 함수는 두 개의 정렬된 배열을 하나의 정렬된 배열로 결합합니다:

function merge(left, right):
    # 결과 배열 초기화
    result = []
    # 두 배열이 모두 비어있지 않은 동안 반복
    while left is not empty and right is not empty:
        # 왼쪽 배열의 첫 번째 요소가 오른쪽 배열의 첫 번째 요소보다 작거나 같으면
        if left[0] <= right[0]:
            # 왼쪽 배열의 첫 번째 요소를 결과 배열에 추가하고 제거
            append left[0] to result
            remove left[0] from left
        else:
            # 오른쪽 배열의 첫 번째 요소를 결과 배열에 추가하고 제거
            append right[0] to result
            remove right[0] from right
    # 남은 왼쪽 요소를 결과 배열에 추가
    append remaining elements of left to result
    # 남은 오른쪽 요소를 결과 배열에 추가
    append remaining elements of right to result
    # 결과 배열 반환
    return result

분할 정복 전략을 사용하여 병합 정렬은 최악의 경우 O(n log n)의 실행 시간을 달성할 수 있어, 가장 효율적인 범용 정렬 알고리즘 중 하나입니다.

마스터 정리

많은 분할 정복 알고리즘의 실행 시간은 마스터 정리를 사용하여 분석할 수 있습니다. 마스터 정리는 다음과 같은 형태의 재귀 관계에 대한 일반적인 공식을 제공합니다:

T(n) = aT(n/b) + f(n)

여기서 a는 재귀 호출의 수, n/b는 각 부분 문제의 크기, f(n)은 문제를 분할하고 결과를 결합하는 비용입니다.

마스터 정리에 따르면 이 재귀 관계의 해는 다음과 같습니다:

f(n) = O(n^(log_b(a) - ε)) (ε > 0)인 경우, T(n) = Θ(n^log_b(a)).
f(n) = Θ(n^log_b(a))인 경우, T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n).
f(n) = Ω(n^(log_b(a) + ε)) (ε > 0)이고 af(n/b) ≤ cf(n)(c < 1, 충분히 큰 n)인 경우, T(n) = Θ(f(n)).

병합 정렬의 경우 a = 2 (두 개의 재귀 호출), b = 2 (각 부분 문제의 크기가 절반), f(n) = Θ(n) (병합 단계가 선형 시간)입니다. log_2(2) = 1이므로 마스터 정리의 2번 경우에 해당하며, 실행 시간은 Θ(n log n)입니다.

기타 분할 정복 알고리즘

많은 다른 알고리즘들도 분할 정복 전략을 사용합니다.분할 정복 패러다임을 사용하여 설계할 수 있는 알고리즘에는 다음과 같은 주목할 만한 예가 있습니다:

퀵 정렬: 병합 정렬과 마찬가지로, 퀵 정렬은 분할 정복 정렬 알고리즘입니다. 피벗 요소를 중심으로 배열을 분할하고, 피벗의 왼쪽과 오른쪽 부배열을 재귀적으로 정렬한 뒤 결과를 연결합니다.
이진 검색: 정렬된 배열에서 요소를 찾는 이진 검색 알고리즘은 분할 정복 알고리즘으로 볼 수 있습니다. 대상 값과 배열의 중간 요소를 비교하고, 비교 결과에 따라 왼쪽 또는 오른쪽 절반을 재귀적으로 검색합니다.
Karatsuba 곱셈: n자리 수 두 개를 O(n^log_2(3)) ≈ O(n^1.585) 시간에 곱할 수 있는 분할 정복 알고리즘입니다. 이는 전통적인 O(n^2) 알고리즘보다 빠릅니다.
Strassen의 행렬 곱셈: Strassen 알고리즘은 n × n 행렬 두 개를 O(n^log_2(7)) ≈ O(n^2.807) 시간에 곱할 수 있어, 단순한 O(n^3) 알고리즘보다 개선되었습니다.

이러한 예는 효율적인 알고리즘 설계를 위한 분할 정복 패러다임의 다양성과 강력함을 보여줍니다.

탐욕 알고리즘

탐욕 알고리즘은 각 단계에서 지역적으로 최적의 선택을 하여 전역적으로 최적의 해결책을 찾는 알고리즘 클래스입니다. 이들은 솔루션을 점진적으로 구축하는 최적화 문제에 자주 사용됩니다.

탐욕 알고리즘의 주요 특징은 다음과 같습니다:

미래의 결과에 대해 걱정하지 않고 각 단계에서 지역적으로 최적의 선택을 합니다.
지역적으로 최적의 선택이 전역적으로 최적의 솔루션으로 이어질 것이라고 가정합니다.
이전 선택을 재고하지 않습니다.

탐욕 알고리즘은 이해하고 구현하기 쉬우며 효율적일 수 있습니다. 하지만 지역적으로 최적의 선택이 전역적으로 최적의 솔루션으로 이어지지 않을 수 있기 때문에, 항상 최적의 솔루션을 보장하지는 않습니다.

데이터 압축을 위한 탐욕 알고리즘: Huffman 코딩

Huffman여기는 한국어 번역입니다:

코딩은 제5장에서 다룬 것처럼 데이터 압축을 위한 최적의 접두사 없는 코드를 구축하는 탐욕 알고리즘입니다. 이 알고리즘은 더 자주 나타나는 문자에 더 짧은 비트 시퀀스를 할당하면서 하향식으로 이진 트리를 구축합니다.

Huffman 코딩 알고리즘의 개략적인 설명은 다음과 같습니다:

각 문자에 대한 리프 노드를 만들고 우선순위 큐에 추가합니다.
큐에 노드가 하나 이상 있는 동안:
- 가장 낮은 빈도의 두 노드를 큐에서 제거합니다.
- 이 두 노드를 자식으로 하고 두 노드의 빈도 합계를 가진 새로운 내부 노드를 만듭니다.
- 새 노드를 우선순위 큐에 추가합니다.
남은 노드가 루트 노드이며, 트리가 완성됩니다.

탐욕적인 선택은 항상 가장 낮은 빈도의 두 노드를 병합하는 것입니다. 이 지역적으로 최적인 선택은 전역적으로 최적인 접두사 없는 코드로 이어집니다.

Huffman 코딩의 예시:

문자 빈도가 다음과 같다고 가정합시다:

d: 1
e: 1

이 예시의 Huffman 트리는 다음과 같습니다:

      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

결과 Huffman 코드는 다음과 같습니다:

A: 00
B: 01
C: 10
D: 110
E: 111

따라서 원래 문자열 "AAAABBBCCCDDDEEE"는 다음과 같이 인코딩됩니다:

00000000010101101010110110110111111111

Huffman 코딩은 더 자주 나타나는 기호에 더 짧은 코드를 할당함으로써 압축을 달성합니다. 코드는 접두사 없는 형태이므로 모호하지 않게 디코딩할 수 있습니다.

LZW 압축

Lempel-Ziv-Welch(LZW) 압축은 입력을 압축하면서 사전(또는 코드북)을 구축하는 사전 기반 압축 알고리즘입니다. LZW는 파일 압축 유틸리티에 널리 사용되었으며 GIF 이미지 형식에서도 사용되었습니다.

LZW의 핵심 아이디어는 문자열을 단일 코드로 대체하는 것입니다. 입력 문자열을 문자 단위로 읽고 각 고정 길이 문자열을 압축된 표현으로 대체하여 인코딩합니다.여기는 한국어 번역본입니다:

가변 길이 코드를 사용하는 LZW 압축 알고리즘

문자열이 길수록 단일 숫자로 인코딩하여 더 많은 공간을 절약할 수 있습니다.

LZW 압축이 어떻게 작동하는지 단계별로 설명하겠습니다:

사전에 모든 단일 문자열을 포함하도록 초기화합니다.
현재 입력과 일치하는 사전의 가장 긴 문자열 W를 찾습니다.
W의 사전 인덱스를 출력에 내보내고 입력에서 W를 제거합니다.
입력의 다음 기호와 함께 W를 사전에 추가합니다.
2단계로 돌아갑니다.

예를 들어, "ABABABABA"를 LZW로 압축하는 경우를 살펴보겠습니다.

사전에 "A"와 "B"를 포함하도록 초기화합니다.
가장 긴 일치는 "A"입니다. 인덱스 (0)을 내보내고 입력에서 제거합니다. 사전에 "A", "B", "AB"가 포함됩니다.
가장 긴 일치는 "B"입니다. 인덱스 (1)을 내보내고 입력에서 제거합니다. 사전에 "A", "B", "AB", "BA"가 포함됩니다.
가장 긴 일치는 "AB"입니다. 인덱스 (2)를 내보내고 입력에서 제거합니다. 사전에 "A", "B", "AB", "BA", "ABA"가 포함됩니다.
가장 긴 일치는 "ABA"입니다. 인덱스 (4)를 내보내고 입력에서 제거합니다. 사전에 "A", "B", "AB", "BA", "ABA", "ABAB"가 포함됩니다.
가장 긴 일치는 "BA"입니다. 인덱스 (3)을 내보냅니다. 입력이 비어 있습니다.

"ABABABABA"의 압축된 표현은 인덱스 [1]의 순서열이며, 이는 원래 ASCII 표현보다 더 적은 비트로 나타낼 수 있습니다.

압축 해제는 역순으로 진행됩니다:

사전에 모든 단일 문자열을 포함하도록 초기화합니다.
입력에서 코드 X를 읽습니다.
사전에서 X의 문자열을 출력합니다.
이전 코드가 존재하는 경우, 이전 문자열과 X의 문자열 첫 번째 문자를 연결하여 사전에 추가합니다.
2단계로 돌아갑니다.

LZW 압축은 간단하고 빠르기 때문에 많은 응용 프로그램에 적합합니다. 그러나 몇 가지 제한 사항이 있습니다. 사전 크기가 상당히 커질 수 있어 메모리를 많이 소비할 수 있습니다. 또한,여기는 한국어 번역입니다:

입력 블록마다 사전이 초기화되어, 작은 파일의 압축률을 낮출 수 있습니다.

이러한 제한점에도 불구하고, LZW는 압축률보다 속도가 더 중요한 애플리케이션에서 널리 사용되는 인기 있고 효과적인 압축 알고리즘입니다.

결론

이 장에서는 문자열 정렬, 트라이, 부분 문자열 검색, 정규 표현식, 데이터 압축 등 중요한 문자열 처리 알고리즘을 살펴보았습니다. 이러한 알고리즘은 많은 실제 응용 프로그램의 기반이 되며, 텍스트 데이터를 다루는 모든 프로그래머에게 필수적인 도구입니다.

문자열 정렬에 대해 먼저 다루었습니다. 문자열 정렬은 문자열의 특수한 속성을 활용하여 최적화된 정렬 알고리즘입니다. 키 인덱스 계수법, LSD 기수 정렬, MSD 기수 정렬은 개별 문자를 기반으로 문자열을 효율적으로 정렬하는 방법을 제공합니다.

다음으로 트라이에 대해 살펴보았습니다. 트라이는 문자열을 저장하고 검색하는 트리 형태의 데이터 구조입니다. 트라이를 사용하면 접두사 일치를 빠르게 수행할 수 있으며, 자동 완성 및 IP 라우팅 테이블과 같은 응용 프로그램에 널리 사용됩니다.

Knuth-Morris-Pratt 및 Boyer-Moore 알고리즘과 같은 부분 문자열 검색 알고리즘을 통해 더 큰 문자열 내에서 패턴을 효율적으로 검색할 수 있습니다. 이러한 알고리즘은 텍스트 편집, 생물 정보학, 정보 검색 등 다양한 분야에 활용됩니다.

정규 표현식은 문자열 패턴을 설명하는 강력하고 유연한 방법을 제공합니다. 정규 표현식의 기본 구문과 다양한 프로그래밍 언어 및 도구에서 패턴 일치 및 문자열 조작에 사용하는 방법을 살펴보았습니다.

마지막으로 데이터 압축 알고리즘을 다루었습니다. 이러한 알고리즘은 입력 데이터의 중복성과 패턴을 활용하여 데이터 크기를 줄입니다. 런-길이 인코딩, 허프만 코딩, Lempel-Ziv-Welch 압축 등 각각의 강점과 적용 분야를 살펴보았습니다.

이러한 문자열 처리 알고리즘과 데이터 구조에 대한 이해는 텍스트 데이터를 다루는 모든 프로그래머에게 필수적입니다.여기는 한국어 번역본입니다. 코드 부분은 번역하지 않고 주석만 번역했습니다.

텍스트 데이터 다루기

데이터의 양이 계속 늘어남에 따라, 문자열을 효율적으로 조작, 검색, 압축할 수 있는 능력은 점점 더 중요해질 것입니다. 이 장에서 다룬 기술들을 마스터하면 자신의 프로젝트와 애플리케이션에서 다양한 문자열 처리 과제를 해결할 수 있을 것입니다.

# 문자열 생성
greeting = "Hello, world!"
 
# 문자열 길이 구하기
length = len(greeting)
print(length)  # 출력: 13
 
# 문자열 인덱싱
first_char = greeting[0]
print(first_char)  # 출력: H
 
# 문자열 슬라이싱
substring = greeting[7:12]
print(substring)  # 출력: world
 
# 문자열 연결
name = "Alice"
message = greeting + ", " + name + "!"
print(message)  # 출력: Hello, world!, Alice!
 
# 문자열 포매팅
age = 25
formatted_string = f"My name is {name} and I am {age} years old."
print(formatted_string)  # 출력: My name is Alice and I am 25 years old.
 
# 문자열 메서드 사용
upper_case = greeting.upper()
print(upper_case)  # 출력: HELLO, WORLD!
 
# 문자열 검색
if "world" in greeting:
    print("'world' found in the string")
else:
    print("'world' not found in the string")

Chapter 8 Algorithm Analysis Techniques Chapter 10 Intractable Problems and Approximation Algorithms