Chapter 6: 곡선된 시공간

이전 장에서 우리는 특수상대성 이론이 우리의 시간과 공간의 이해를 혁신시켰으며, 그들을 네 차원의 민코프스키 시공간으로 통합시켰다는 것을 보았습니다. 그런 다음 동일성의 원리와 특수상대성 이론의 교훈이 아인슈타인을 그의 일반상대성 이론으로 이끌었습니다. 이 이론에서 중력은 더 이상 힘이 아니라 곡선된 시공간의 표현입니다. 이 장에서는 리만 기하학과 텐서 해석학에서 제공하는 곡선된 시공간의 수학적 기술에 대해 자세히 알아보겠습니다. 우리는 이 형식화가 아인슈타인의 필드 방정식, 시공간 곡률의 동역학을 지배하는 마스터 방정식을 이끌게 됨을 보게 될 것입니다. 마지막으로, 우리는 이 방정식의 주요 해결책 중 일부를 탐색하여 블랙홀에서 전체 우주의 진화에 이르기까지 다양한 현상을 이해하는 모델을 제공합니다.

곡선된 시공간의 수학

아인슈타인의 일반상대성 이론의 핵심 인사이트는 중력이 일반적인 의미에서의 힘이 아니라 시공간의 곡률의 표현이라는 것입니다. 물질과 에너지의 존재 속에서 시공간이 곡선이 되며, 이 곡률이 중력이라고 느끼는 것입니다. 곡선된 시공간의 정확한 수학적 설명을 제공하기 위해 아인슈타인은 가우스, 리만, 리치, 레비-치비타와 같은 수학자들이 19세기에 개발한 리만 기하학과 텐서 해석학의 도구에 의존했습니다.

리만 기하학에서 곡선 공간은 주로 $g_{\mu\nu}$로 표시되는 과적텐서(metric tensor)에 의해 기술됩니다. 이 메트릭은 공간의 기하에 대한 모든 정보를 인코딩하여 거리, 각도, 부피 등을 계산할 수 있게 해줍니다. 4차원 시공간에서 메트릭은 4x4 행렬이며, 지수 $\mu$와 $\nu$는 0에서 3까지 변동합니다 (보통 0은 시간 차원을 위해 예약됩니다). 메트릭은 대칭적이므로, $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$와 같이 대칭됩니다. 따라서 10개의 독립 구성 요소가 있습니다.

메트릭을 사용하여 두 이벤트 간의 시공간 간격 $ds$를 계산할 수 있습니다. 이는 특수상대성 이론의 민코스키 간격을 일반화하는 것입니다.

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

여기서 $dx^\mu$는 $\mu$번째 좌표의 무한소 변위를 나타냅니다. 이 식에서는 반복되는 지수들 간의 써머리합 관례가 사용됩니다.

메트릭은 또한 평행 이동의 개념을 정의할 수 있게 해줍니다. 이를 통해 곡선 공간에서 서로 다른 점들에서 벡터(및 텐서)를 비교하는 방법을 알 수 있습니다. 평평한 공간에서는 평행 이동이 사소합니다 - 벡터는 경로를 따라 이동하면서 그 방향을 유지합니다. 그러나 곡선 공간에서는 평행 이동이 경로에 종속되므로 벡터의 회전과 같은 현상이 발생합니다 (폐로 평행 이동되는 벡터의 회전).

시공간의 곡률은 메트릭과 그의 미분으로 구성된 리만 곡률 텐서 $R_{\mu\nu\rho\sigma}$에 인코딩됩니다. 리만 텐서는 평행 이동의 비교 불가능성, 즉 서로 다른 두 경로에서 평행 이동될 때 벡터가 얼마나 변하는지를 측정합니다. 만약 리만 텐서가 모든 곳에서 0이라면, 공간은 평평하다 (유클리드 기하학적이거나 민코우스키기하학적이다). 리만 텐서의 비영 구성요소는 곡률의 존재를 나타냅니다.

리만 텐서로부터, 우리는 지수 두 개를 계약(합산)하여 리치 텐서 $R_{\mu\nu}$를 구성할 수 있습니다.

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

리치 텐서는 터닝 원리를 제공합니다. 그리고 리치 텐서는 리치 스칼라 $R$를 계산하기 위해 작용이 가능합니다.

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

리치 텐서와 스칼라는 시공간의 각 지점에서의 로컬 곡률을 측정합니다.

이러한 도구를 갖춘 상태에서 우리는 이제 아인슈타인의 필드 방정식, 일반 상대성 이론의 마스터 방정식을 기술할 수 있습니다.

아인슈타인의 필드 방정식

아인슈타인의 필드 방정식은 시공간의 곡률이 물질과 에너지의 존재와 어떻게 관련되어있는지에 대한 동역학적 설명을 제공합니다. 방정식의 가장 간결한 형태에서 다음과 같이 쓸 수 있습니다.

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

여기서 $G_{\mu\nu}$는 아인슈타인 텐서로 정의되며 다음과 같습니다.

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

아인슈타인 텐서는 시공간의 곡률에 대한 정보를 담고 있습니다. 오른쪽 $T_{\mu\nu}$는 스트레스-에너지 텐서로, 시공간에서의 에너지 밀도와 흐름을 설명합니다. 상수 $8\pi$는 이론의 뉴턴 극한에 대해 일치하도록 선택됩니다.

스트레스-에너지 텐서 $T_{\mu\nu}$는 대칭적인 4x4 텐서로, 물리적 해석이 있는 구성 요소를 가지고 있습니다:

• $T_{00}$ 에너지 밀도를 나타냅니다.
• $T_{0i}$와 $T_{i0}$는 운동량 밀도 (에너지 흐름)를 나타냅니다.
• $T_{ij}$는 스트레스(압력)를 나타냅니다.

완전한 유체에 대해서는, 스트레스-에너지 텐서는 다음과 같은 형태를 가집니다.

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

여기서 $\rho$는 에너지 밀도, $p$는 압력, $u^\mu$는 유체의 네 속도입니다.

아인슈타인의 필드 방정식은 메트릭 구성요소 $g_{\mu\nu}$에 대한 10개의 결합된 비선형 편미분 방정식 세트입니다. 이 방정식은 일반적으로 해결하기 어렵고, 정교한 수학적 기술과 종종 수치적 방법이 필요합니다. 그러나 일부 정확한 해결책이 발견되었으며, 중력의 본질과 우주의 구조에 대한 깊은 통찰력을 제공했습니다.

아인슈타인의 방정식의 해결책

아인슈타인 방정식의 첫 번째 정확한 해결책은 1916년에 아인슈타인이 그의 이론을 발표한 직후 몇 달 후에 칼 슈바르트실트(Karl Schwarzschild)에 의해 발견되었습니다. 슈바르트실트 솔루션은 회전하지 않는 별이나 블랙홀과 같은 구 형대칭 질량의 외부 시공간 기하를 설명합니다. 슈바르트실트 솔루션의 메트릭은 다음과 같습니다.

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

여기에서 $M$은 중심 물체의 질량이고, $(r, \theta, \phi)$는 구좌표입니다. 슈바르츠실드 해는 몇 가지 주목할 만한 특징을 가지고 있습니다:

• $r = 2M$에서, 측정치는 특이점이 되는 것처럼 보입니다. 이 반지름은 슈바르츠실드 반지름 또는 사건 지평선이라고 불리며, 탈출 속도가 빛의 속도와 같아지는 곳입니다. 만약 질량이 이 반지름 내로 압축된다면, 그것은 블랙홀을 형성합니다.
• $ r < 2M $에서, $r$과 $t$의 역할이 바뀝니다. 더 작은 $r$로 이동하는 것은 시간으로 앞으로 이동하는 것과 같으며, 이벤트 지평선 내부에 들어가면 중앙 싱귤래리티에 도달할 수 없게 됩니다.
• 슈바르츠실드 해는 일반 상대성이론의 가장 독특하고 매혹적인 예측 중 하나인 블랙홀의 존재를 예측합니다.

또 다른 중요한 해는 1963년 루이스 커어(Roy Kerr)가 찾은 커어 계통(Kerr metric)입니다. 커어 해는 회전하는 블랙홀 주변의 시공간을 설명합니다. 슈바르츠실드 계통보다 훨씬 복잡하지만, 이벤트 지평선과 중앙 싱귤래리티와 같은 몇 가지 유사한 특징을 가지고 있습니다. 커어 해는 또한 "에르고스피어"라 불리는 영역의 존재를 예측합니다. 이 영역은 시공간이 블랙홀의 회전과 함께 움직이는 효과인 프레임 드래깅(frame-dragging) 현상이 있는 영역입니다.

우주론적 규모에서, 아인슈타인의 방정식에 대한 가장 중요한 해는 프리드만-레마트르-로버트슨-워커(FLRW) 계통입니다. 이 계통은 시간에 따라 팽창되거나 수축되는 균일하고 동질적인 우주를 설명합니다. FLRW 계통은 거리 변화를 시간에 따라 설명하는 스케일 팩터 $a(t)$와 양의 곡률 파라미터 $k$에 의해 특징 지어집니다. 이 곡률 파라미터는 양(폐허 우주), 음(열린 우주) 또는 영(평평한 우주)이 될 수 있습니다.

FLRW 계통은 에너지 밀도 $\rho$와 압력 $p$에 대한 프리드만 방정식을 이끌어냅니다. 이 방정식은 우주의 물질 및 에너지의 에너지 밀도와 압력에 따른 스케일 팩터 $a(t)$의 진화를 설명합니다:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

여기서 점은 시간 도함수를 의미하며, $G$는 뉴턴의 상수입니다. 프리드만 방정식은 $\rho$와 $p$ 사이의 상태 방정식과 결합하여, 우주론의 표준 빅뱅 모델의 기반을 제공합니다. 이 모델은 우주가 뜨거우고 밀도가 높은 상태에서 시작되었으며, 그 이후로 팽창하고 냉각되었다는 예측을 제공합니다. 이 모델은 우주의 팽창부터 우주의 열방위 복사까지 확장하는 넓은 범위의 우주론적 관측을 설명하는 데에 놀라운 성공을 거두었습니다.

그러나 표준 빅뱅 모델은 문제가 없지 않습니다. 이 모델에 따르면 초기 우주는 인과 관청에 있지 않을 수도 있는 지역들로 구성된 거의 동일한 특성을 가진 매우 균일해야 한다는 예측을 제공합니다. 이를 지극문제(horizon problem)라고 합니다. 또한 이 모델은 관측된 적이 없는 자기 단극체의 존재를 예측합니다. 이러한 문제들과 다른 문제들은 1980년대에 우주 인플레이션 이론의 발전으로 이어졌습니다.

우주 인플레이션은 매우 초기 우주가 인플레이턴(inflaton)이라고 불리는 스칼라 필드의 에너지에 의해 지수적으로 팽창하는 시기를 거쳤다고 주장합니다. 이 급속한 팽창은 초기의 비균일성을 완화하여 지극문제를 해결했을 것입니다. 또한 자기 단극체를 관측할 수 없는 수준으로 희석시켰을 것입니다. 인플레이션은 약간 비평면적이 아닌 우주와 특정한 원시 밀도 변동 스펙트럼과 같은 몇 가지 예측을 하며, 이들은 우주 복사 배경의 관측으로 확인되었습니다.

우주론에서의 또 다른 중요한 발전은 1990년대 후반 어머니 외계인의 발견이었습니다. 먼 중성에서 본 원격 초신성의 관측은 우주의 팽창이 물질과 방사선의 단순 표준 빅뱅 모델의 예상과는 상반된 가속도로 진행되고 있다는 것을 보여주었습니다. 이 가속도는 우주를 흩어지게 하는 음압과 유사한 신비한 성분인 어두운 에너지로 설명됩니다. 어두운 에너지에 대한 가장 간단한 모형은 코스모로지상 상수입니다. 이는 정적 우주를 허용하기 위해 아인슈타인이 그의 방정식에 도입한 수정으로, 진공의 에너지와 같은듯한 존재입니다. 코스모로지상 상수는 방정식 $p = -\rho$를 특징으로 합니다.

현재의 표준 우주론 모델인 람다-CDM 모델은 플랫 미터(CDM) 형태의 어두운 물질과 함께 어두운 에너지인 코스모로지상 상수($\Lambda$)를 포함하고 있습니다. CDM은 중력적으로만 상호작용하는 물질 형태로, 은하의 생성과 우주의 대규모 구조 생성을 설명하기 위해 필요합니다. 람다-CDM 모델은 여러 우주론적 데이터를 잘 설명하는 데에 극히 성공했지만, 어두운 물질과 어두운 에너지의 물리적 성질은 아직 물리학에서 가장 큰 미스터리 중 하나입니다.

결론

아인슈타인의 일반상대성이론은 중력을 시공간의 곡률로 아름답고 깊은 설명합니다. 리만 기하학과 텐서 해석학의 수학적 형식은 이 곡률과 물질과 에너지의 존재와의 관계를 양적화하는 데 도움을 줍니다. 아인슈타인의 필드 방정식은 이론의 주요 방정식으로 여러 가지 중요한 경우에 해결되었으며, 블랙홀과 우주의 팽창과 같은 현상의 예측을 이끌어 냈습니다.

일반상대성을 우주론에 적용한 결과, 빅뱅 모델이 발전되었습니다. 이 모델은 뜨거운, 밀도 높은 초기상태에서 현재의 팽창 단계까지의 우주의 진화를 설명합니다. 어두운 물질과 어두운 에너지의 발견은 이 모델의 확장을 요구하여 람다-CDM 모델로 이어지게 했습니다. 비록 그것이 성공적이었지만, 일반 상대성이론은 중력에 대한 최종 결정이 아닙니다. 이론은 블랙홀의 중심과 우주의 매우 초기에서 양자 효과가 중요해지는 곳에서 붕괴됩니다. 일반 상대성이론을 양자 역학과 통합하는 것은 이론 물리학의 큰 도전 중 하나입니다. 문자열 이론과 루프 양자 중력과 같은 중력의 양자 이론 후보들은 연구의 활발한 영역입니다.

게다가, 어두운 물질과 어두운 에너지의 수수께끼는 중력과 우주의 내용에 대한 우리의 이해가 완전하지 않음을 시사합니다. 중력파 탐지기에서 우주의 온도 분포를 연구하는 위성 미션에 이르기까지, 계속되는 관측과 미래 관측은 이러한 수수께끼에 새로운 빛을 비추고, 점점 극한적인 조건에서 일반 상대성이론을 검증하는 것을 약속합니다.