알고리즘의 작동 원리
Chapter 8 Algorithm Analysis Techniques

8장: 알고리즘 분석 기법

이전 장에서 우리는 정렬, 검색, 그래프, 문자열 및 다양한 응용 분야와 같은 주제를 다루는 기본적인 알고리즘과 데이터 구조를 탐구했습니다. 이러한 알고리즘을 구현하고 이해하는 것이 중요하지만, 특정 문제에 적합한 알고리즘을 선택할 때 의사 결정을 내리기 위해서는 알고리즘의 성능 특성을 분석하는 것도 equally 중요합니다. 이 장에서는 수학적 모델, 경험적 연구 및 알고리즘 시각화에 중점을 두어 알고리즘을 분석하고 평가하는 데 사용되는 기법을 살펴보겠습니다.

수학적 모델 및 분석

수학적 분석은 알고리즘의 동작과 성능을 이해하는 데 강력한 도구입니다. 알고리즘의 핵심 특성을 포착하는 수학적 모델을 개발함으로써 우리는 그 효율성과 확장성에 대해 추론할 수 있습니다. 이러한 모델을 통해 알고리즘의 실행 시간, 메모리 사용량 및 기타 성능 지표에 대한 예측을 할 수 있으며, 이를 통해 다양한 알고리즘을 비교하고 주어진 작업에 가장 적합한 알고리즘을 선택할 수 있습니다.

Big-O 표기법

알고리즘의 성능을 설명하는 데 가장 널리 사용되는 표기법 중 하나는 Big-O 표기법입니다. Big-O 표기법은 함수의 증가율에 대한 상한을 제공하여 알고리즘의 최악의 경우 실행 시간 또는 공간 복잡성을 특성화할 수 있습니다.

Big-O 표기법에서 우리는 일반적으로 입력 크기 n으로 표현되는 함수로 알고리즘의 성능을 나타냅니다. 예를 들어, 처음 n개의 양수를 더하는 다음과 같은 간단한 함수를 고려해 보겠습니다:

public static int sum(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

이 함수의 실행 시간은 입력 크기 n에 비례하여 선형적으로 증가합니다. 우리는 이를 Big-O 표기법으로 O(n)으로 표현할 수 있습니다. 이는 실행 시간이 입력 크기에 비례한다는 것을 의미합니다. 즉, 입력 크기가 증가함에 따라 실행 시간도 선형적으로 증가합니다.입력 크기가 증가하면 알고리즘의 실행 시간도 대부분 선형적으로 증가합니다.

Big-O 표기법을 사용하면 상수 인자와 낮은 차수 항을 무시하고, 함수의 증가율을 결정하는 주요 항에 집중할 수 있습니다. 예를 들어, 다음 함수를 살펴보겠습니다:

public static int sumOfSquares(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            sum += j;
        }
    }
    return sum;
}

이 함수의 실행 시간은 N의 제곱에 비례합니다. 정확히 말하면, "sum += j" 문장이 실행되는 횟수는 1 + 2 + ... + N ~ N^2/2입니다.

일반적으로 Big-O 표기법을 사용하여 프로그램의 실행 시간을 입력 크기로 표현할 수 있습니다. 이를 통해 선도 계수와 낮은 차수 항을 제거하고, 실행 시간의 증가율에 집중할 수 있습니다.

Knuth-Morris-Pratt 알고리즘

Knuth-Morris-Pratt(KMP) 알고리즘은 "실패 함수"라는 사전 계산된 정보를 사용하여 불필요한 비교를 피할 수 있는 효율적인 부분 문자열 검색 알고리즘입니다.

실패 함수는 현재까지 일치한 패턴의 부분 문자열에서 가장 긴 접두사이자 접미사의 길이를 알려줍니다. 이를 통해 불일치가 발생할 때 텍스트에서 앞으로 건너뛸 수 있어, 백트래킹을 피할 수 있습니다.

다음은 KMP 알고리즘의 예시입니다:

Text:    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
Pattern: "abracadabra"
Output:  [13]

KMP 알고리즘의 실행 시간은 O(n + m)으로, 대량의 텍스트와 패턴에 대해 브루트 포스 방식보다 훨씬 효율적입니다.

Boyer-Moore 알고리즘

Boyer-Moore 알고리즘은 또 다른 효율적인 부분 문자열 검색 알고리즘으로, 패턴 문자열을 사전 처리하여 사용합니다. KMP와 달리 Boyer-Moore는 패턴의 끝에서부터 비교를 시작하고 역방향으로 진행합니다.

Boyer-Moore의 핵심 아이디어는 "좋은 접미사" 및 "나쁜 문자" 두 가지 사전 계산 함수를 사용하는 것입니다.여기는 한국어 번역입니다:

함수와 "나쁜 문자" 함수. 이 함수들은 우리가 불일치를 발견할 때 텍스트에서 건너뛸 수 있게 해줍니다. KMP와 유사합니다.

다음은 Boyer-Moore 알고리즘의 예시입니다:

텍스트:    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
패턴: "abracadabra"
출력:  [13]

Boyer-Moore는 최선의 경우 O(n/m)의 실행 시간과 최악의 경우 O(n * m)의 실행 시간을 가지지만, 실제로는 큰 알파벳에서 가장 빠른 부분 문자열 검색 알고리즘으로 알려져 있습니다.

정규 표현식

정규 표현식은 문자열에서 패턴을 설명하는 강력한 도구입니다. 그들은 텍스트를 일치, 검색 및 조작하기 위한 간결하고 유연한 표기법을 제공합니다.

정규 표현식은 검색 패턴을 정의하는 문자 시퀀스입니다. 정규 표현식의 가장 단순한 형태는 "hello"와 같은 리터럴 문자열로, 정확히 "hello" 문자열과 일치합니다. 그러나 정규 표현식에는 더 복잡한 패턴을 허용하는 특수 문자와 구조도 포함됩니다:

  • . (점) 은 임의의 단일 문자와 일치합니다.
  • * (별표) 는 이전 문자 또는 그룹의 0개 이상의 발생과 일치합니다.
  • + (더하기) 는 이전 문자 또는 그룹의 1개 이상의 발생과 일치합니다.
  • ? (물음표) 는 이전 문자 또는 그룹의 0개 또는 1개의 발생과 일치합니다.
  • ^ (캐럿) 은 행의 시작과 일치합니다.
  • $ (달러) 는 행의 끝과 일치합니다.
  • [] (대괄호) 는 문자 클래스를 정의하며, 대괄호 내의 임의의 단일 문자와 일치합니다.

다음은 정규 표현식의 예와 그들이 일치하는 패턴입니다:

  • a.b 는 "a"로 시작하고 "b"로 끝나는 3자 문자열과 일치합니다. 예: "acb", "a5b", "a b".

  • a*b 는 0개 이상의 "a" 문자 다음에 단일 "b" 문자가 오는 모든 문자열과 일치합니다. 예: "b", "ab", "aab", "aaab".

  • a+b 는 1개 이상의 "a" 문자 다음에 단일 "b" 문자가 오는 모든 문자열과 일치합니다. 예: "ab", "aab", "aaab", 하지만 "b"는 제외됩니다.

  • a?b 는 "ab" 또는 "b"와 일치합니다.

  • ^a 는 "a"로 시작하는 모든 문자열과 일치합니다.다음은 한국어 번역본입니다. 코드 부분은 번역하지 않고 주석만 번역했습니다.

  • a$ 는 "a"로 끝나는 모든 문자열과 일치합니다.

  • [aeiou] 는 모든 단일 모음 문자와 일치합니다.

정규 표현식은 Java, Python, grep, sed 등 많은 프로그래밍 언어와 도구에서 지원됩니다. 데이터 검증, 텍스트 처리, 로그 분석 등 다양한 작업에 널리 사용됩니다.

데이터 압축

데이터 압축은 원래 표현보다 적은 비트로 정보를 인코딩하는 과정입니다. 이를 통해 저장 공간 요구 사항과 전송 시간을 줄일 수 있습니다. 무손실 압축과 손실 압축의 두 가지 주요 유형이 있습니다. 무손실 압축은 압축된 데이터에서 원래 데이터를 완벽하게 복구할 수 있지만, 손실 압축은 압축률을 높이기 위해 일부 정보를 손실할 수 있습니다.

런-길이 인코딩

런-길이 인코딩(RLE)은 동일한 기호의 반복 시퀀스(런)를 기호 하나와 반복 횟수로 대체하는 간단한 무손실 압축 기술입니다.

다음은 RLE의 예시입니다:

입력:  "AAAABBBCCCDDDEEE"
출력: "4A3B3C3D3E"

RLE는 긴 런이 많은 데이터에 효과적입니다. 그러나 런이 적거나 없는 경우 오히려 데이터 크기가 증가할 수 있습니다.

허프만 코딩

허프만 코딩은 입력 데이터의 기호 빈도에 따라 가변 길이 코드를 할당하는 무손실 압축 알고리즘입니다. 더 자주 나타나는 기호에는 더 짧은 코드를, 덜 자주 나타나는 기호에는 더 긴 코드를 할당합니다.

이 알고리즘은 바닥부터 이진 트리인 허프만 트리를 구축하는 방식으로 작동합니다. 각 리프 노드는 기호와 해당 빈도를 나타내며, 각 내부 노드는 자식 노드의 빈도 합을 나타냅니다. 트리는 가장 낮은 빈도를 가진 두 노드를 반복적으로 병합하여 구축됩니다.

트리가 구축되면 각 기호의 코드는 루트에서 리프 노드까지의 경로로 결정됩니다.다음은 주어진 마크다운 파일의 한국어 번역입니다. 코드 부분은 번역하지 않고 주석만 번역했습니다.

대응하는 리프 노드, 왼쪽 분기는 "0", 오른쪽 분기는 "1"을 나타냅니다.

다음은 허프만 코딩의 예시입니다:

입력:  "AAAABBBCCCDDDEEE"
출력: "000010011001011100101"

허프만 트리:
      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

이 예시에서, "A"는 "00"로, "B"는 "01"로, "C"는 "10"으로, "D"는 "110"으로, "E"는 "111"로 할당됩니다. 압축된 출력은 입력의 각 기호를 해당 코드로 대체하여 얻습니다.

허프만 코딩은 최적의 접두사 코드이며, 이는 어떤 코드도 다른 코드의 접두사가 아님을 의미합니다. 이를 통해 압축된 데이터를 모호하지 않게 디코딩할 수 있습니다. 허프만 코딩은 JPEG, MP3, ZIP 등 다양한 파일 형식과 압축 도구에서 널리 사용됩니다.

Lempel-Ziv-Welch (LZW) 압축

Lempel-Ziv-Welch (LZW) 압축은 사전 기반 압축 알고리즘으로, 입력을 압축하면서 사전(또는 코드북)을 구축합니다. LZW는 파일 압축 유틸리티에 널리 사용되었으며, GIF 이미지 형식에서도 사용되었습니다.

LZW의 핵심 아이디어는 문자열을 단일 코드로 대체하는 것입니다. 입력 문자열을 문자 단위로 읽어 들이면서, 고정 길이 코드를 가변 길이 코드로 대체하여 입력을 압축합니다. 문자열이 길수록 단일 숫자로 인코딩하여 더 많은 공간을 절약할 수 있습니다.

LZW 압축의 단계별 설명은 다음과 같습니다:

  1. 사전에 모든 단일 문자열을 초기화합니다.
  2. 사전에서 현재 입력과 일치하는 가장 긴 문자열 W를 찾습니다.
  3. W의 사전 인덱스를 출력에 내보내고, W를 입력에서 제거합니다.
  4. W에 다음 기호를 추가하여 사전에 추가합니다.
  5. 2단계로 돌아갑니다.

예를 들어, "ABABABABA" 문자열을 LZW로 압축하는 경우는 다음과 같습니다.

  1. 사전에 "A"와 "B"를 초기화합니다.

  2. 가장 긴 일치 문자열은 "A"입니다. 해당 인덱스를 출력에 내보냅니다.

  3. "A"를 입력에서 제거합니다.

  4. "AB"를 사전에 추가합니다.

  5. 2단계로 돌아갑니다.여기는 한국어 번역입니다. 코드 부분은 번역하지 않고 주석만 번역했습니다.

  6. 입력에서 가장 긴 일치 항목은 "A"입니다. 인덱스 (0)을 출력하고 입력에서 제거합니다. 사전에는 "A", "B", "AB"가 포함됩니다.

  7. 가장 긴 일치 항목은 "B"입니다. 인덱스 (1)을 출력하고 입력에서 제거합니다. 사전에는 "A", "B", "AB", "BA"가 포함됩니다.

  8. 가장 긴 일치 항목은 "AB"입니다. 인덱스 (2)를 출력하고 입력에서 제거합니다. 사전에는 "A", "B", "AB", "BA", "ABA"가 포함됩니다.

  9. 가장 긴 일치 항목은 "ABA"입니다. 인덱스 (4)를 출력하고 입력에서 제거합니다. 사전에는 "A", "B", "AB", "BA", "ABA", "ABAB"가 포함됩니다.

  10. 가장 긴 일치 항목은 "BA"입니다. 인덱스 (3)을 출력합니다. 입력이 이제 비어 있습니다.

"ABABABABA"의 압축된 표현은 인덱스 [1]의 순서열이며, 이는 원래의 ASCII 표현보다 더 적은 비트로 나타낼 수 있습니다.

압축 해제는 이와 유사하지만 역순으로 진행됩니다:

  1. 사전에 모든 단일 문자 문자열을 포함하도록 초기화합니다.
  2. 입력에서 코드 X를 읽습니다.
  3. 사전에서 X에 해당하는 문자열을 출력합니다.
  4. 이전 코드가 존재하는 경우, 이전 문자열과 X에 해당하는 문자열의 첫 번째 문자를 연결하여 사전에 추가합니다.
  5. 2단계로 돌아갑니다.

LZW 압축은 간단하고 빠르기 때문에 많은 응용 프로그램에 적합한 선택입니다. 그러나 몇 가지 제한 사항도 있습니다. 사전의 크기가 상당히 커질 수 있어 메모리를 많이 소비할 수 있습니다. 또한 각 입력 블록마다 사전이 초기화되므로 작은 파일의 압축률을 낮출 수 있습니다.

이러한 제한 사항에도 불구하고 LZW는 압축률보다 속도가 더 중요한 응용 프로그램에서 널리 사용되는 인기 있고 효과적인 압축 알고리즘입니다.

결론

이 장에서는 문자열 정렬, 트라이, 부분 문자열 검색, 정규 표현식, 데이터 압축 등 중요한 문자열 처리 알고리즘을 살펴보았습니다. 이러한 알고리즘은 많은 실제 응용 프로그램의 기반을 이루며 텍스트 데이터를 다루는 모든 프로그래머에게 필수적인 도구입니다.

문자열 정렬로 시작하여 많은 실제 응용 프로그램에서 중요한 역할을 하는 다양한 알고리즘을 다루었습니다.문자열 처리를 위한 최적화된 정렬 알고리즘은 문자열의 특수한 속성을 활용합니다. 키 인덱스 카운팅, LSD 기수 정렬, MSD 기수 정렬은 개별 문자를 기반으로 문자열을 정렬하는 효율적인 방법을 제공합니다.

다음으로, 문자열을 저장하고 검색하는 트라이 데이터 구조를 살펴보았습니다. 트라이는 빠른 접두사 일치를 가능하게 하며, 자동완성 및 IP 라우팅 테이블과 같은 응용 프로그램에서 널리 사용됩니다.

Knuth-Morris-Pratt 및 Boyer-Moore 알고리즘과 같은 부분 문자열 검색 알고리즘을 통해 더 큰 문자열 내에서 패턴을 효율적으로 검색할 수 있습니다. 이러한 알고리즘은 텍스트 편집, 생물정보학, 정보 검색 등 다양한 분야에서 활용됩니다.

정규 표현식은 문자열 패턴을 설명하는 강력하고 유연한 방법을 제공합니다. 정규 표현식의 기본 구문과 다양한 프로그래밍 언어 및 도구에서 패턴 일치 및 문자열 조작에 사용하는 방법을 살펴보았습니다.

마지막으로, 데이터 압축 알고리즘을 탐구했습니다. 이러한 알고리즘은 입력 데이터의 중복성과 패턴을 활용하여 데이터 크기를 줄입니다. 런-길이 인코딩, 허프만 코딩, Lempel-Ziv-Welch 압축 등 각각의 강점과 응용 분야를 다루었습니다.

이러한 문자열 처리 알고리즘과 데이터 구조에 대한 이해는 텍스트 데이터를 다루는 모든 이에게 필수적입니다. 비정형 데이터의 양이 계속 증가함에 따라, 문자열을 효율적으로 조작, 검색, 압축할 수 있는 능력은 더욱 가치 있게 될 것입니다. 이 장에서 다룬 기술을 숙달함으로써 다양한 문자열 처리 과제를 해결할 수 있을 것입니다.

Chapter 7 ContextChapter 9 Algorithm Design Paradigms Divide and Conquer