فصل 2: تابع‌های لورنتز

در فصل قبل، ما پایه‌های مفهومی را برای نظریه خاص انسانیت ریاضی راه انداخته و اصول هم‌نسبیت و ثابت بودن سرعت نور را معرفی کردیم. دیدیم که چگونه این دو اصل، هنگامی که با هم در نظر گرفته می‌شوند، به برخی نتایج متعجب کننده درباره طبیعت فضا و زمان منجر می‌شوند. به طور خاص، ما متوجه شدیم که مفهوم هم‌زمانی نسبی است و ساعت‌های در حال حرکت نسبت به ساعت‌های ثابت کندتر می‌ترکند.

با این حال، هنوز ما هنوز از ماشین‌آلات ریاضی لازم برای توصیف این اثرات به صورت کمی برخوردار نشده‌ایم. در این فصل، ما تبدیل‌های لورنتز - قلب ریاضی خاص انسانیت را معرفی خواهیم کرد. این تبدیل‌ها به ما امکان می‌دهند فضا و زمان رویدادها را بین فریم‌های منسوج مختلف به روشی ریاضی مرتبط کنیم. ما از اصول آینشتاین تبدیل‌های لورنتز را استنباط خواهیم کرد، پیامدهای آن را بررسی خواهیم کرد و خواهیم دید که چگونه به بازنویسی ژرف درک ما از فضا و زمان می‌انجامد.

نیاز به تبدیل جدید

در فیزیک نیوتونی کلاسیک، رابطه بین مختصات دو فریم هم انرژی توسط تبدیلات گالیله مشخص می‌شود. اگر دو فریم اس و اس' داشته باشیم که اس' با سرعتی v نسبت به اس در جهت محور x حرکت می‌کند، آن‌گاه تبدیلات گالیله به شکل زیر است:

x' = x - vt
y' = y
z' = z
t' = t

در اینجا (x، y، z، t) مختصات رویداد در فریم اس هستند و (x'، y'، z'، t') مختصات همان رویداد در اس' هستند. این تبدیلات تصور کلاسیکی فضای مطلق و زمان را نشان می‌دهند. آن‌ها نشان می‌دهند که زمان در همه‌ی فریم‌های مرجع یکسان است (t' = t) و طول نیز بین فریم‌ها ثابت است.

با این حال، تبدیلات گالیله با ثابت بودن سرعت نور سازگار نیستند. اگر نور با سرعت c در فریم اس حرکت کند، طبق قانون افزودن سرعت گالیله، باید با سرعت c-v در اس' حرکت کند. اما این اصول آینشتاین را که سرعت نور در همه فریم‌های حالت ساکن یکسان است، نقض می‌کند.

برای حل این تناقض، ما به تبدیلات جدیدی که سرعت نور را ثابت باقی می‌گذارند نیاز داریم. این تبدیلات تبدیلات لورنتز هستند.

استنباط تبدیلات لورنتز

برای استنتاج تبدیلات لورنتز، بیایید نور از مبدا (x = 0, t = 0) فریم اس عمدتا شده را درنظر بگیریم. در فریم اس، گسترش این نور توسط معادله زیر توصیف می‌شود:

x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2

این تنها قضیه فیثاغورس در سه بعد فضایی به علاوه بعد زمانی است که سرعت نور c را بین واحدهای فضا و زمان تبدیل می‌کند.

حال بیایید به همان نور از دیدگاه فریم اس' نگاه کنیم. اصل هم‌نسبیت می‌خواهد که نور نیز باید به همان معادله موج در اس' آگاه باشد:

x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2

وظیفه‌مان پیدا کردن تبدیلی بین مختصات غیرنفع و نفع داریم که این ثابتی حفظ شود. ساده‌ترین تبدیل‌ای که این تثبیت را حفظ می‌کند، به شرح زیر است:

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - vx/c^2)

که در آن γ = 1/√(1 - v^2/c^2) عامل لورنتز است. این تبدیلات لورنتز هستند. می‌توانید بررسی کنید که اگر این عبارات را به معادله موج نفعی بپیوندید، معادله نفع را بازیابی خواهید کرد و از ثابتی سرعت نور آگاهی دارید.

چند نکته کلیدی در مورد تبدیلات لورنتز:

1. در حد v << c، به تبدیلات گالیله ختم می‌شوند، به عبارت دیگر هنگامی که سرعت نسبی کمتر از سرعت نور است. در این صورت، γ ≈ 1.

2. آنها صرفاً یک چرخش در فضای زمان 4D نیستند. تغییر مختصات فضا و زمان (x' به t بستگی دارد، t' به x بستگی دارد) یک ویژگی نوآورانه‌ای با پیامدهای ژرف دارد.

3. اینها یک گروه تشکیل می‌دهند، به این معنی که یک دنباله از تبدیلات لورنتز معادل یک تبدیل لورنتز واحد است. این ساختار گروهی انطباق خودمانیت خاص انسانیت را به تصویب می‌رساند.

پیامدهای تبدیلات لورنتز

تبدیلات لورنتز منجر به تعدادی از اثرات شگفت‌انگیزی می‌شوند که به‌طور کلاسیک هیجان ایجاد می‌کنند. بیایید به برخی از این پیامدها پرداخت کنیم.

کاهش زمان

ساعتی را در استراحت در فریم S' در نظر بگیرید. ضربه‌های این ساعت با ∆x' = 0 مشخص می‌شوند، به این معنی که آنها در همان مکان فضایی در S' رخ می‌دهند. زمان میان ضربه‌ها در S' برابر با ∆t' است. چه زمانی بین همین ضربه‌ها در فریم S است؟

با استفاده از تبدیلات لورنتز، ما می‌توانیم فاصله‌های زمانی را مرتبط کنیم:

∆t = γ∆t'

از این رو، چون γ > 1، این نشان می‌دهد که ∆t > ∆t' است. به عبارت دیگر، به نظر می‌رسد ساعت حرکت کننده تا حدی به فاکتور γ نسبت به ساعت ثابت به کندی کار می‌کند. این اثر کاهش زمان مشهور انسانیت ویرایشی است.

مهم است که تاکید شود که این تنها یک حقیقت تصویری ناشی از زمان ارسال سیگنال یا مکانیسم ساعت نیست. در واقع، خود زمان در نظر دهنده حرکت و تشریفات ثابت در حال جریان است. دیدگاه هر فریم از زمان به یک اندازه به معنای آن است.

کاهش طول

حالا یک تیرچه به استراحت در S' درنظر بگیرید که به افق محور x' هم‌افزا است. تیرچه در S' طول لازم دارد که مختصات نقاط پایانی آن را سازگاری دهد ∆x' = L'. طول تیرچه به عنوان اندازه گیری شده در S چه می‌شود؟

برای پیدا کردن این، ما باید مختصات پایانی تیرچه را به صورت همزمان در S اندازه‌گیری کنیم. با قرار دادن ∆t = 0 در تبدیلات لورنتز، ما به دست خواهیم آورد:

∆x = ∆x'/γ = L'/γ

از آنجا که γ > 1، این نشان می‌دهد که L < L' است. تیرچه حرکت کننده با فاکتور γ در جهت حرکت خود کشیده شده است. این پدیدهٔ انقباض لورنتز است.

باز هم، این تنها مسئله نقطه‌نظر یا اندازه‌گیری نیست. تیرچه درواقع در فریم حرکت دار به طول کشیده می‌شود. در صورتی که تیرچه به سرعت‌های نسبی رابطه داده شود، در واقع فشرده خواهد شد.

هم‌زمانی نسبی

شاید معایب گیرا و اعتراضی مهم‌ترین نتیجه تبدیلات لورنتز ، هم‌زمانی نسبی باشد. رویدادهایی که در یک فریم هم‌زمان هستند، به طور کلی در فریم دیگر هم‌زمان نیستند.

دو رویداد، A و B را در نظر بگیرید که در S' هم‌زمان هستند و با یک فاصلهٔ ∆x' از هم جدا شده‌اند. در S'، ما داریم:

t'_A = t'_B x'_B - x'_A = ∆x'

این درخواست می‌کند که ما برآیندی بین مختصات غیرنفع را بیابیم تا این اثبات شود. ساده‌ترین تبدیلی که این را حفظ می‌کند، به شرح زیر است:

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - vx/c^2)

که در آن γ = 1/√(1 - v^2/c^2) عامل لورنتز است. این تبدیلات لورنتز هستند. می‌توانید بررسی کنید که اگر این عبارات را به معادله موج نفعی بپیوندید، معادله نفع را بازیابی خواهید کرد و از ثابتی سرعت نور آگاهی دارید.

چند نکته کلیدی در مورد تبدیلات لورنتز:

1. در حد v << c، به تبدیلات گالیله ختم می‌شوند، به عبارت دیگر هنگامی که سرعت نسبی کمتر از سرعت نور است. در این صورت، γ ≈ 1.

2. آنها صرفاً یک چرخش در فضای زمان 4D نیستند. تغییر مختصات فضا و زمان (x' به t بستگی دارد، t' به x بستگی دارد) یک ویژگی نوآورانه‌ای با پیامدهای ژرف دارد.

3. اینها یک گروه تشکیل می‌دهند، به این معنی که یک دنباله از تبدیلات لورنتز معادل یک تبدیل لورنتز واحد است. این ساختار گروهی انطباق خودمانیت خاص انسانیت را به تصویب می‌رساند.

پیامدهای تبدیلات لورنتز

تبدیلات لورنتز منجر به تعدادی از اثرات شگفت‌انگیزی می‌شوند که به‌طور کلاسیک هیجان ایجاد می‌کنند. بیایید به برخی از این پیامدها پرداخت کنیم.

کاهش زمان

ساعتی در استراحت در فریم S' را درنظر بگیرید. ضربه‌های این ساعت با ∆x' = 0 مشخص می‌شوند، به این معنی که آنها در همان مکان فضایی در S' رخ می‌دهند. زمان بین ضربه‌ها در S' برابر با ∆t' است. چه زمانی بین همین ضربه‌ها در فریم S است؟

با استفاده از تبدیلات لورنتز، می‌توانیم فاصله‌های زمانی را مرتبط کنیم:

∆t = γ∆t'

از آنجا که γ > 1، این نشان می‌دهد که ∆t > ∆t' است. به عبارت دیگر، به نظر می‌رسد ساعت حرکت کننده تا حدی به فاکتور γ نسبت به ساعت ثابت کندتر کار می‌کند. این اثر کاهش زمان مشهور در اینجانب انسانیت است.

اهمیت این موضوع در آن است که این تنها یک حقیقت تصویری ناشی از زمان ارسال سیگنال یا مکانیسم ساعت نیست. در واقع، خود زمان در چرخه همیشگی تاثیرگُذار است. هر کدام از دیدگاه های فریم ها معتبر است.

تغییر طول

حالا یک تیرچه دراز در استراحت در S' درنظر بگیرید که محور x' را هم محور داشته باشد. طول تیرچه در S' طول مناسبی دارد که با ∆x' = L' مشخص میشود. طول تیرچه به عنوان پارامتر عبوری در S چه می‌شود؟

برای یافتن این، باید متناظر با عواقب با عواقب آغاز با تغییر طول رفتار کردند. با قرار دادن ∆t = 0 در پیچ تبدیلات لورنتز، می‌یابیم:

∆x = ∆x'/γ = L'/γ

از آنجا که γ > 1، این نشان می‌دهد که L < L' است. تیرچه در حرکت, تا یک فاکتور γ در جهت حرکت خود فشرده شده است. این پدیدهٔ انقباض لورنتز است.

دوباره، کاهش این موضوع به مساله نظریه یا ویژگی اندازه‌گیری نیست. در واقع، تیرچه واقعاً کوتاه‌تر هستند. اگر تیرچه با سرعت‌های نسبی به خود رابطه‌دهی شود، واقعاً کوتاه خواهد شد.

هم‌زمانی نسبی

احتمالاً غلبه بر تبدیلات لورنتز، هم‌زمانی نسبی است. رویدادهایی که در یک فریم هم‌زمان هستند، به طور کلی در فریم دیگر هم‌زمان نیستند.

دو رویداد، A و B را در نظر بگیرید که در S' هم‌زمان هستند و به فاصلهٔ ∆x' از یکدیگر جدا شده‌اند. در S'، ما داریم:

t'_A = t'_B x'_B - x'_A = ∆x'

این نیاز است که یک تحویل میانی از مختصات نفعی را پیدا کنیم تا تأکید شود. ساده‌ترین تبدیلی که این را حفظ کند، به شرح زیر است:

x' = γ(x - vt)
y' = y
z' = z
t' = γ(t - vx/c^2)

که در آن γ = 1/√(1 - v^2/c^2) عامل لورنتز است. این تبدیلات لورنتز هستند. می‌توانید بررسی کنید که اگر این عبارات را به معادله موج لورنتزی گذار دهید، معادله موج لورنتزی را به دست می‌آورید و از ثابتی سرعت نورآگاهی دارید.

چند نکته کلیدی در مورد تبدیلات لورنتز:

1. در حد v << c، به تبدیلات گالیله ختم می‌شوند، به عبارت دیگر هنگامی که سرعت نسبی کمتر از سرعت نور است. در این صورت، γ ≈ 1.

2. آنها صرفاً یک چرخش در فضای زمان 4D نیستند. تغییر مختصات فضا و زمان (x به t دست می‌دهد و t به x) با پیامدهای ژرفی همراه است.

3. آنها گروهی را تشکیل می‌دهند که به این معنی است که دنباله‌ای از تبدیلات لورنتز معادل یک تبدیل لورنتز تکی است. این ساختار گروهی زیرکی خاص انسانیت است. با استفاده از تبدیل‌های لورنتز، می‌توانیم اختلاف زمانی بین این دو رویداد در اس اینگاز را پیدا کنیم:

t_B - t_A = -γv∆x'/c^2

مگر اینکه ∆x' = 0 باشد (به معنی این است که رویدادها در مکان فضایی یکسان در اس اینگاز رخ داده‌اند)، این تفاوت زمانی غیر صفر است. رویدادهای A و B در اس همزمان نیستند.

این مفهوم نئوتونی از همزمانی مطلق را برمی‌همزند. این که آیا دو رویداد همزمان هستند یا نه، به مرجع مرتبط بستگی دارد. هیچ «الان»ی که به طور جهانی قبول شده و در امتداد زمان می‌برشد وجود ندارد.

تبدیل‌های لورنتز و فضازمان

تبدیل‌های لورنتز رابطه عمیقی بین فضا و زمان نشان می‌دهند. در دیدگاه کلاسیک، فضا و زمان جداگانه و مطلق هستند. اما در نسبیت خاص، آنها به طور حمیمانه با یکدیگر مرتبط و نسبی هستند.

این ارتباط در مفهوم فضازمان، معرفی شده توسط هرمان مینکوفسکی، صراحتاً ارائه می‌شود. فضازمان چهاربعدی تشکیل شده از اتحاد 3 بعدی فضا و 1 بعدی زمان است. رویدادها نقاطی در این فضازمان چهاربعدی هستند که با چهار مختصات (t, x, y, z) مشخص می‌شوند.

در این دیدگاه، تبدیل‌های لورنتز چرخش‌هایی در فضازمان چهاربعدی هستند. همان‌طور که چرخشی سه بعدی مختصات x، y و z را مخلوط و به معیت فواصل حفظ می‌کند، تبدیلی لورنتز، مختصات t، x، y و z را مخلوط و به معیت شرایط فضازمان حفظ می‌کند:

∆s^2 = -c^2∆t^2 + ∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2

این فاصله، که نوعی «فاصله» چهاربعدی است، تحت تبدیل‌های لورنتز ثابت است. این شیء هندسی بنیادی نسبیت خاص است.

در این دیدگاه فضازمانی، بسیاری از تأثیرات پارادوکسال نظری نسبیت، مفهومی منطقی می‌شوند. به عنوان مثال، نسبیت هم‌زمانی فقط یک نتیجه از واقعیت است که مشاهده‌گران مختلف طول می‌کشند فضازمان را در طول ابرصفحات زمان ثابت.

پس تبدیل‌های لورنتز، چیزی بیش از یک ابزار ریاضی برای تبدیل بین چارچوب‌های مرجع هستند. آنها یک تغییر عمیق در درک ما از طبیعت فضا و زمان نشان می‌دهند. آنها نشان می‌دهند که فضا و زمان دستخوش تغییر و نسبی هستند و جدای ناپذیر با یکدیگر، بافت فضازمان را تشکیل می‌دهند.

نتیجه‌گیری

تبدیل‌های لورنتز تجسم ریاضی ایدئولوژی‌های نوآورانه آینشتاین درباره طبیعت فضا و زمان هستند. برآورده شده از اصل نسبیت و ثابت بودن سرعت نور، آنها چارچوبی را برای ترجمه شرح‌های فیزیکی بین چارچوب‌های یکنواخت فراهم می‌کنند.

اما اهمیت آنها به این ترجمه‌های محدود نمی‌شود. تبدیل‌های لورنتز دنیایی را نشان می‌دهند که زمان در آن کند شده، طول‌ها منقبض شده و هم‌زمانی نسبی است. آنها فضا و زمان را در یک فضای-زمانی چهاربعدی اتحاد می‌دهند که تفکیک بین آنها مبهم است.

در فصل بعد، عواقب بیشتری از تبدیل‌های لورنتز را، از جمله دوگانگی معروف و معادله جرم و انرژی، بررسی خواهیم کرد. خواهیم دید که این تبدیل‌ها و دیدگاه فضازمانی که الهام می‌گیرند، ما را به یک درک عمیق‌تر از جهان فیزیکی می‌رسانند.

هنگامی که در سفر خود در نسبیت خاص ادامه می‌دهیم، مهم است به خاطر داشته باشیم که این تأثیرات عجیب و غریب - کندی زمان، انقباض طول، نسبیت هم‌زمانی - نه فقط دستاوردهای نظری جالبی هستند. آنها پدیده‌های واقعی هستند که توسط بی‌شماری آزمایش، از شتاب‌دهنده‌های ذرات تا ماهواره‌های GPS، تأیید شده‌اند. آنها عواقب لازم از ساختار عمیق فضازمان هستند که در تبدیل‌های لورنتز رمزگذاری شده است.