Chapitre 8 : Techniques d'analyse d'algorithmes

Dans les chapitres précédents, nous avons exploré une large gamme d'algorithmes et de structures de données fondamentaux, couvrant des sujets tels que le tri, la recherche, les graphes, les chaînes de caractères et diverses applications. Bien que la mise en œuvre et la compréhension de ces algorithmes soient cruciales, il est tout aussi important d'analyser leurs caractéristiques de performance afin de prendre des décisions éclairées lors de la sélection d'algorithmes pour des problèmes spécifiques. Dans ce chapitre, nous nous plongeons dans les techniques utilisées pour analyser et évaluer les algorithmes, en nous concentrant sur les modèles mathématiques, les études empiriques et la visualisation des algorithmes.

Modèles mathématiques et analyse

L'analyse mathématique est un outil puissant pour comprendre le comportement et les performances des algorithmes. En développant des modèles mathématiques qui capturent les caractéristiques essentielles d'un algorithme, nous pouvons raisonner sur son efficacité et sa capacité à passer à l'échelle. Ces modèles nous permettent de faire des prédictions sur le temps d'exécution, l'utilisation de la mémoire et d'autres métriques de performance d'un algorithme, nous permettant ainsi de comparer différents algorithmes et de choisir celui qui convient le mieux à une tâche donnée.

Notation Big-O

L'une des notations les plus largement utilisées pour décrire les performances d'un algorithme est la notation big-O. La notation big-O fournit une borne supérieure sur le taux de croissance d'une fonction, nous permettant de caractériser le pire cas du temps d'exécution ou de la complexité spatiale d'un algorithme.

Dans la notation big-O, nous exprimons les performances d'un algorithme en fonction de la taille de l'entrée, généralement notée n. Par exemple, considérons la fonction simple suivante qui calcule la somme des n premiers entiers positifs :

public static int sum(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

Le temps d'exécution de cette fonction croît linéairement avec la taille de l'entrée n. Nous pouvons exprimer cela en utilisant la notation big-O comme O(n), indiquant que le temps d'exécution est proportionnel à la taille de l'entrée. Cela signifie que lorsque la taille de l'entrée augmente, le temps d'exécution augmente de manière linéaire.Voici la traduction française du fichier markdown, avec les commentaires traduits mais le code non traduit :

La taille d'entrée augmente, le temps d'exécution de l'algorithme augmente au plus linéairement.

La notation Big-O nous permet d'ignorer les facteurs constants et les termes d'ordre inférieur, en nous concentrant sur le terme dominant qui détermine le taux de croissance de la fonction. Par exemple, considérons la fonction suivante :

public static int sumOfSquares(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            sum += j;
        }
    }
    return sum;
}

Le temps d'exécution de cette fonction est proportionnel au carré de N. Pour être précis, le nombre de fois où l'instruction sum += j est exécutée est 1 + 2 + ... + N ~ N^2/2.

En général, nous pouvons exprimer le temps d'exécution d'un programme en fonction de la taille de l'entrée en utilisant la notation Big-O. Cela nous permet de supprimer les coefficients de tête et les termes d'ordre inférieur, et de nous concentrer sur la partie importante : l'ordre de croissance du temps d'exécution.

Algorithme de Knuth-Morris-Pratt

L'algorithme de Knuth-Morris-Pratt (KMP) est un algorithme de recherche de sous-chaîne efficace qui utilise une "fonction d'échec" précalculée pour éviter les comparaisons inutiles.

La fonction d'échec nous indique la longueur du plus long préfixe propre du motif qui est également un suffixe du sous-chaîne du motif que nous avons déjà comparée. Cela nous permet de "sauter en avant" dans le texte lorsque nous trouvons une non-correspondance, plutôt que de revenir en arrière.

Voici un exemple de l'algorithme KMP :

Texte :    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
Motif : "abracadabra"
Sortie :  [13]

L'algorithme KMP a un temps d'exécution de O(n + m), ce qui le rend beaucoup plus efficace que l'approche brute-force pour les grands textes et motifs.

Algorithme de Boyer-Moore

L'algorithme de Boyer-Moore est un autre algorithme de recherche de sous-chaîne efficace qui fonctionne en prétraitant la chaîne de motif. Contrairement à KMP, qui commence les comparaisons depuis le début du motif, Boyer-Moore commence par la fin et travaille à rebours.

L'idée clé derrière Boyer-Moore est d'utiliser deux fonctions précalculées : le "bon suffixe"Voici la traduction française du fichier Markdown :

Fonction et la fonction "mauvais caractère". Ces fonctions nous permettent de sauter en avant dans le texte lorsque nous trouvons une incompatibilité, similaire à KMP.

Voici un exemple de l'algorithme de Boyer-Moore :

Texte :    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
Motif : "abracadabra"
Sortie :  [13]

Boyer-Moore a un temps d'exécution optimal de O(n/m) et un temps d'exécution dans le pire des cas de O(n * m), mais en pratique, c'est souvent l'algorithme de recherche de sous-chaîne le plus rapide pour les grands alphabets.

Expressions régulières

Les expressions régulières sont un outil puissant pour décrire des motifs dans les chaînes de caractères. Elles fournissent une notation concise et flexible pour faire correspondre, rechercher et manipuler du texte.

Une expression régulière est une séquence de caractères qui définit un motif de recherche. La forme la plus simple d'une expression régulière est une chaîne littérale, comme "hello", qui correspond exactement à la chaîne "hello". Cependant, les expressions régulières incluent également des caractères et des constructions spéciaux qui permettent des motifs plus complexes :

. (point) correspond à n'importe quel caractère unique.
* (astérisque) correspond à zéro ou plusieurs occurrences du caractère ou du groupe précédent.
+ (plus) correspond à une ou plusieurs occurrences du caractère ou du groupe précédent.
? (point d'interrogation) correspond à zéro ou une occurrence du caractère ou du groupe précédent.
^ (accent circonflexe) correspond au début d'une ligne.
$ (dollar) correspond à la fin d'une ligne.
[] (crochets) définissent une classe de caractères, correspondant à n'importe quel caractère unique à l'intérieur des crochets.

Voici quelques exemples d'expressions régulières et des motifs qu'elles correspondent :

a.b correspond à n'importe quelle chaîne de trois caractères qui commence par "a" et se termine par "b", comme "acb", "a5b" ou "a b".
a*b correspond à n'importe quelle chaîne qui se compose de zéro ou plusieurs caractères "a" suivis d'un seul "b", comme "b", "ab", "aab" ou "aaab".
a+b correspond à n'importe quelle chaîne qui se compose d'un ou plusieurs caractères "a" suivis d'un seul "b", comme "ab", "aab" ou "aaab", mais pas "b".
a?b correspond soit à "ab" soit à "b".
^a correspond à n'importe quelle chaîne qui commence par "a".Voici la traduction française du fichier markdown avec les commentaires traduits, mais le code non traduit :

ts avec "a".

a$ correspond à toute chaîne de caractères se terminant par "a".
[aeiou] correspond à un seul caractère voyelle.

Les expressions régulières sont prises en charge par de nombreux langages de programmation et outils, notamment Java, Python et les utilitaires Unix comme grep et sed. Elles sont largement utilisées pour des tâches telles que la validation des données, le traitement de texte et l'analyse des journaux.

Compression de données

La compression de données est le processus de codage de l'information en utilisant moins de bits que la représentation d'origine. Cela est utile pour réduire les exigences de stockage et les temps de transmission. Il existe deux types principaux de compression : sans perte et avec perte. La compression sans perte permet de reconstruire parfaitement les données d'origine à partir des données compressées, tandis que la compression avec perte permet une certaine perte d'informations en échange de ratios de compression plus élevés.

Codage par plages

Le codage par plages (RLE) est une technique de compression sans perte simple qui remplace les séquences répétées de symboles identiques (plages) par une seule instance du symbole et un comptage du nombre de fois qu'il est répété.

Voici un exemple de RLE :

Entrée :  "AAAABBBCCCDDDEEE"
Sortie : "4A3B3C3D3E"

Le RLE est efficace pour les données avec de nombreuses longues plages, comme les images graphiques simples. Cependant, il peut en fait augmenter la taille des données s'il y a peu ou pas de plages.

Codage de Huffman

Le codage de Huffman est un algorithme de compression sans perte qui attribue des codes de longueur variable aux symboles en fonction de leurs fréquences dans les données d'entrée. Les symboles les plus fréquents se voient attribuer des codes plus courts, tandis que les symboles les moins fréquents se voient attribuer des codes plus longs.

L'algorithme fonctionne en construisant un arbre binaire, appelé arbre de Huffman, de bas en haut. Chaque nœud feuille représente un symbole et sa fréquence, tandis que chaque nœud interne représente la somme des fréquences de ses enfants. L'arbre est construit en fusionnant répétitivement les deux nœuds ayant les fréquences les plus basses jusqu'à ce qu'il ne reste qu'un seul nœud.

Une fois l'arbre construit, le code de chaque symbole est déterminé par le chemin de la racine à la feuille correspondante.Voici la traduction française du fichier Markdown, avec les commentaires traduits mais le code non traduit :

L'arbre de Huffman : le nœud feuille correspondant, avec une branche de gauche représentant un "0" et une branche de droite représentant un "1".

Voici un exemple de codage de Huffman :

Entrée :  "AAAABBBCCCDDDEEE"
Sortie : "000010011001011100101"

Arbre de Huffman :
      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

Dans cet exemple, "A" est assigné au code "00", "B" est assigné à "01", "C" est assigné à "10", "D" est assigné à "110" et "E" est assigné à "111". La sortie compressée est obtenue en remplaçant chaque symbole de l'entrée par son code correspondant.

Le codage de Huffman est un code préfixe optimal, ce qui signifie qu'aucun code n'est un préfixe d'un autre code. Cela permet un décodage sans ambiguïté des données compressées. Le codage de Huffman est largement utilisé dans divers formats de fichiers et outils de compression, tels que JPEG, MP3 et ZIP.

Compression Lempel-Ziv-Welch (LZW)

La compression Lempel-Ziv-Welch (LZW) est un algorithme de compression basé sur un dictionnaire qui construit un dictionnaire (ou codebook) de chaînes de caractères tout en compressant l'entrée. LZW est largement utilisé dans les utilitaires de compression de fichiers et a été utilisé dans le format d'image GIF.

L'idée clé derrière LZW est de remplacer les chaînes de caractères par des codes uniques. Il lit la chaîne d'entrée caractère par caractère et encode la chaîne dans une représentation compacte en remplaçant chaque code de longueur fixe par un code de longueur variable. Plus la chaîne est longue, plus l'espace est économisé en l'encodant sous la forme d'un seul nombre.

Voici une description étape par étape du fonctionnement de la compression LZW :

Initialiser le dictionnaire pour contenir toutes les chaînes de caractères à un seul caractère.
Trouver la chaîne la plus longue W dans le dictionnaire qui correspond à l'entrée actuelle.
Émettre l'index du dictionnaire pour W vers la sortie et supprimer W de l'entrée.
Ajouter W suivi du prochain symbole de l'entrée au dictionnaire.
Aller à l'étape 2.

Considérons un exemple. Supposons que nous voulions compresser la chaîne "ABABABABA" en utilisant LZW.

Initialiser le dictionnaire pour contenir "A" et "B".
La correspondance la plus longue est "A". Émettre son iVoici la traduction française du fichier Markdown, avec les commentaires traduits mais le code non traduit :
L'index le plus long est "A". Émettez son index (0) et supprimez-le de l'entrée. Le dictionnaire contient maintenant "A", "B" et "AB".
L'index le plus long est "B". Émettez son index (1) et supprimez-le de l'entrée. Le dictionnaire contient maintenant "A", "B", "AB" et "BA".
L'index le plus long est "AB". Émettez son index (2) et supprimez-le de l'entrée. Le dictionnaire contient maintenant "A", "B", "AB", "BA" et "ABA".
L'index le plus long est "ABA". Émettez son index (4) et supprimez-le de l'entrée. Le dictionnaire contient maintenant "A", "B", "AB", "BA", "ABA" et "ABAB".
L'index le plus long est "BA". Émettez son index (3). L'entrée est maintenant vide.

La représentation compressée de "ABABABABA" est donc la séquence d'indices [1], ce qui nécessite moins de bits pour la représenter que la représentation ASCII d'origine.

La décompression fonctionne de manière similaire, mais dans l'ordre inverse :

Initialisez le dictionnaire pour qu'il contienne toutes les chaînes de caractères à un seul caractère.
Lisez un code X dans l'entrée.
Sortez la chaîne pour X du dictionnaire.
Si le code précédent existe, ajoutez la chaîne précédente concaténée avec le premier caractère de la chaîne pour X au dictionnaire.
Allez à l'étape 2.

La compression LZW est simple et rapide, ce qui en fait un bon choix pour de nombreuses applications. Cependant, elle a quelques limites. La taille du dictionnaire peut devenir assez importante, ce qui consomme une quantité de mémoire significative. De plus, le dictionnaire est réinitialisé après chaque bloc d'entrée, ce qui peut réduire le taux de compression pour les petits fichiers.

Malgré ces limites, LZW reste un algorithme de compression populaire et efficace, en particulier pour les applications où la vitesse est plus importante que d'atteindre les plus hauts taux de compression possibles.

Conclusion

Dans ce chapitre, nous avons exploré plusieurs algorithmes importants de traitement des chaînes de caractères, notamment les tris de chaînes, les tries, la recherche de sous-chaînes, les expressions régulières et la compression de données. Ces algorithmes forment la base de nombreuses applications du monde réel et sont des outils essentiels pour tout programmeur travaillant avec des données textuelles.

Nous avons commencé par discuter des tris de chaînes, qui sont opVoici la traduction française du fichier Markdown, avec les commentaires du code traduits en français :

Algorithmes de tri optimisés tirant parti des propriétés spéciales des chaînes de caractères. Le comptage par clé, le tri par radix LSD et le tri par radix MSD fournissent des méthodes efficaces pour trier les chaînes de caractères en fonction de leurs caractères individuels.

Ensuite, nous avons examiné les tries, une structure de données en arbre pour stocker et récupérer des chaînes de caractères. Les tries permettent un appariement de préfixe rapide et sont couramment utilisés dans des applications telles que la complétion automatique et les tables de routage IP.

Les algorithmes de recherche de sous-chaînes, tels que les algorithmes de Knuth-Morris-Pratt et de Boyer-Moore, nous permettent de rechercher efficacement des motifs dans des chaînes de caractères plus grandes. Ces algorithmes ont de nombreuses applications dans l'édition de texte, la biologie computationnelle et la recherche d'informations.

Les expressions régulières offrent un moyen puissant et flexible de décrire des motifs de chaînes de caractères. Nous avons discuté de la syntaxe de base des expressions régulières et de la manière dont elles peuvent être utilisées pour la correspondance de motifs et la manipulation de chaînes de caractères dans divers langages de programmation et outils.

Enfin, nous avons exploré les algorithmes de compression de données, qui réduisent la taille des données en exploitant la redondance et les motifs au sein des données d'entrée. Nous avons abordé le codage par plage, le codage de Huffman et la compression de Lempel-Ziv-Welch, chacun ayant ses propres forces et applications.

Comprendre ces algorithmes et structures de données de traitement de chaînes de caractères est essentiel pour quiconque travaille avec des données textuelles. Alors que la quantité de données non structurées ne cesse d'augmenter, la capacité à manipuler, rechercher et compresser efficacement les chaînes de caractères ne deviendra que plus précieuse. En maîtrisant les techniques abordées dans ce chapitre, vous serez bien équipé pour relever une grande variété de défis liés au traitement des chaînes de caractères dans vos propres projets et applications.

Chapter 7 Context Chapter 9 Algorithm Design Paradigms Divide and Conquer