Chapitre 2 : Les Transformations de Lorentz
Dans le chapitre précédent, nous avons posé les bases conceptuelles de la théorie de la relativité restreinte en introduisant le principe de relativité et la constance de la vitesse de la lumière. Nous avons vu comment ces deux postulats, pris ensemble, conduisent à des conclusions surprenantes sur la nature de l'espace et du temps. En particulier, nous avons découvert que le concept de simultanéité est relatif et que les horloges en mouvement sont plus lentes par rapport à celles qui sont immobiles.
Cependant, nous n'avons pas encore développé les outils mathématiques nécessaires pour décrire quantitativement ces effets. Dans ce chapitre, nous introduirons les transformations de Lorentz - le cœur mathématique de la relativité restreinte. Ces transformations nous permettent de relier les coordonnées spatiales et temporelles des événements entre différents référentiels inertiels. Nous dériverons les transformations de Lorentz à partir des postulats d'Einstein, explorerons leurs conséquences et verrons comment elles conduisent à une reformulation profonde de nos notions d'espace et de temps.
La nécessité d'une nouvelle transformation
En physique classique newtonienne, la relation entre les coordonnées de deux référentiels inertiels est donnée par les transformations de Galilée. Si nous avons deux référentiels S et S', avec S' se déplaçant à une vitesse v par rapport à S le long de l'axe des x, alors les transformations de Galilée disent :
x' = x - vt y' = y z' = z t' = t
Ici, (x, y, z, t) sont les coordonnées d'un événement dans le référentiel S, et (x', y', z', t') sont les coordonnées du même événement dans le référentiel S'. Ces transformations incarnent les notions classiques d'espace et de temps absolu. Elles impliquent que le temps est le même dans tous les référentiels (t' = t), et que les longueurs sont également invariantes entre les référentiels.
Cependant, les transformations de Galilée sont incompatibles avec la constance de la vitesse de la lumière. Si la lumière se déplace à la vitesse c dans le référentiel S, alors selon la loi d'addition des vitesses de Galilée, elle devrait se déplacer à une vitesse c-v dans S'. Mais cela viole le deuxième postulat d'Einstein, qui affirme que la vitesse de la lumière est la même dans tous les référentiels inertiels.
Pour résoudre cette contradiction, nous avons besoin d'un nouvel ensemble de transformations qui laissent la vitesse de la lumière inchangée. Ce sont les transformations de Lorentz.
Dérivation des transformations de Lorentz
Pour dériver les transformations de Lorentz, considérons une impulsion lumineuse émise à l'origine (x=0, t=0) du référentiel S. Dans le référentiel S, la propagation de cette impulsion est décrite par l'équation :
x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2
C'est simplement le théorème de Pythagore dans trois dimensions spatiales plus la dimension temporelle, avec la vitesse de la lumière c convertissant entre les unités spatiales et temporelles.
Maintenant, regardons la même impulsion lumineuse du point de vue du référentiel S'. Le principe de relativité exige que l'impulsion satisfasse également l'équation d'onde dans S':
x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2
Notre tâche est de trouver une transformation entre les coordonnées sans primes et avec primes de sorte que cette invariance soit maintenue. La transformation la plus simple est :
x' = γ(x - vt) y' = y z' = z t' = γ(t - vx/c^2)
où γ = 1/√(1 - v^2/c^2) est le facteur de Lorentz. Ce sont les transformations de Lorentz. Vous pouvez vérifier que si vous remplacez ces expressions dans l'équation d'onde avec primes, vous retrouvez l'équation sans primes, démontrant ainsi l'invariance de la vitesse de la lumière.
Quelques points clés sur les transformations de Lorentz :
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Elles se réduisent aux transformations de Galilée dans la limite
v << c, c'est-à-dire lorsque la vitesse relative est beaucoup plus faible que la vitesse de la lumière. Dans ce cas, γ ≈ 1. -
Elles ne sont pas seulement une rotation dans l'espace-temps en 4D. Le mélange des coordonnées spatiales et temporelles (x' dépend de t, t' dépend de x) est une caractéristique nouvelle avec des conséquences profondes.
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Elles forment un groupe sous la composition, ce qui signifie qu'une séquence de transformations de Lorentz équivaut à une seule transformation de Lorentz. Cette structure de groupe est à la base de la cohérence de la relativité restreinte.
Conséquences des transformations de Lorentz
Les transformations de Lorentz entraînent un certain nombre d'effets frappants qui défient l'intuition classique. Explorons quelques-unes de ces conséquences.
Dilatation temporelle
Considérons une horloge au repos dans le référentiel S'. Les événements de battement de l'horloge sont caractérisés par ∆x' = 0, c'est-à-dire qu'ils se produisent au même emplacement spatial dans S'. L'intervalle de temps entre les battements dans S' est ∆t'. Quel est le temps entre ces mêmes battements dans le référentiel S ?
En utilisant les transformations de Lorentz, nous pouvons relier les intervalles de temps :
∆t = γ∆t'
Puisque γ > 1, cela implique que ∆t > ∆t'. En d'autres termes, l'horloge en mouvement semble tourner plus lentement d'un facteur γ par rapport à une horloge stationnaire. C'est l'effet célèbre de la dilatation temporelle de la relativité restreinte.
Il est important de souligner que ce n'est pas seulement une illusion due aux temps de propagation des signaux ou aux mécanismes de l'horloge. Le temps lui-même s'écoule littéralement à des rythmes différents pour les observateurs en mouvement et stationnaires. La perception du temps de chaque référentiel est également valide.
Contraction des longueurs
Maintenant, considérons une tige au repos dans S', alignée le long de l'axe des x'. La tige a une longueur propre L' dans S', ce qui signifie que les coordonnées de ses extrémités satisfont ∆x' = L'. Quelle est la longueur de la tige mesurée dans S ?
Pour trouver cela, nous devons mesurer les coordonnées des extrémités de la tige simultanément dans S. En mettant ∆t = 0 dans les transformations de Lorentz, nous trouvons :
∆x = ∆x'/γ = L'/γ
Puisque γ > 1, cela implique que L < L'. La tige en mouvement est contractée le long de sa direction de déplacement par un facteur γ. C'est le phénomène de la contraction de Lorentz.
Encore une fois, il ne s'agit pas seulement d'une question de perspective ou de mesure. La tige est réellement plus courte dans son référentiel en mouvement. Si la tige est accélérée à des vitesses relativistes, elle se contractera physiquement.
Relativité de la simultanéité
Peut-être la conséquence la plus contre-intuitive des transformations de Lorentz est la relativité de la simultanéité. Les événements qui sont simultanés dans un référentiel ne le sont généralement pas dans un autre.
Considérons deux événements, A et B, qui sont simultanés dans S' et séparés par une distance ∆x'. Dans S', nous avons :
t'_A = t'_B x'_B - x'_A = ∆x' À l'aide des transformations de Lorentz, nous pouvons trouver la différence de temps entre ces événements dans S:
t_B - t_A = -γv∆x'/c^2
À moins que ∆x' = 0 (ce qui signifie que les événements se produisent au même endroit spatial dans S'), cette différence de temps est non nulle. Les événements A et B ne sont pas simultanés dans S.
Cela remet en question la notion newtonienne de simultanéité absolue. Que deux événements soient simultanés ou non dépend du référentiel. Il n'y a pas de "maintenant" universellement accepté qui découpe l'espace-temps.
Les Transformations de Lorentz et l'Espace-Temps
Les transformations de Lorentz révèlent une profonde connexion entre l'espace et le temps. Dans la vision classique du monde, l'espace et le temps sont des entités distinctes et absolues. Mais dans la relativité restreinte, ils sont intimement liés et relatifs.
Cette connexion est rendue explicite dans le concept d'espace-temps, introduit par Hermann Minkowski. L'espace-temps est la variété à 4 dimensions formée par l'union de l'espace à 3 dimensions et du temps à 1 dimension. Les événements sont des points dans cet espace-temps à 4 dimensions, caractérisés par quatre coordonnées (t, x, y, z).
Dans cette perspective, les transformations de Lorentz sont des rotations dans l'espace-temps à 4 dimensions. Tout comme une rotation à 3 dimensions mélange les coordonnées x, y et z tout en préservant les distances, une transformation de Lorentz mélange t, x, y et z tout en préservant l'intervalle d'espace-temps :
∆s^2 = -c^2∆t^2 + ∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2
Cet intervalle, qui est une sorte de "distance" à 4 dimensions, est invariant sous les transformations de Lorentz. Il est l'objet géométrique fondamental de la relativité restreinte.
Dans cette représentation de l'espace-temps, bon nombre des effets en apparence paradoxaux de la relativité deviennent intuitifs. Par exemple, la relativité de la simultanéité est simplement une conséquence du fait que différents observateurs découpent l'espace-temps le long de différents hyperplans de temps constant.
Les transformations de Lorentz sont donc plus qu'un simple outil mathématique pour convertir entre les référentiels. Elles représentent un changement profond dans notre compréhension de la nature de l'espace et du temps. Elles révèlent que l'espace et le temps ne sont pas les entités immuables et absolues de la physique classique, mais sont au contraire malléables et relatifs, tissés ensemble dans la trame de l'espace-temps.
Conclusion
Les transformations de Lorentz sont l'incarnation mathématique des idées révolutionnaires d'Einstein sur la nature de l'espace et du temps. Dérivées du principe de relativité et de la constance de la vitesse de la lumière, elles fournissent le cadre pour traduire les descriptions physiques entre des référentiels inertiels.
Mais leur signification va au-delà de simples conversions de coordonnées. Les transformations de Lorentz révèlent un monde où le temps se dilate, les longueurs se contractent et la simultanéité est relative. Elles unifient l'espace et le temps dans un continuum d'espace-temps à 4 dimensions, où la distinction entre eux est floue.
Dans le chapitre suivant, nous explorerons les conséquences supplémentaires des transformations de Lorentz, y compris le célèbre paradoxe des jumeaux et l'équivalence masse-énergie. Nous verrons comment ces transformations, et la vision de l'espace-temps qu'elles inspirent, nous conduisent à une compréhension plus profonde de l'univers physique.
Alors que nous poursuivons notre voyage à travers la relativité restreinte, il est important de garder à l'esprit que ces effets étranges - la dilatation du temps, la contraction des longueurs, la relativité de la simultanéité - ne sont pas juste des curiosités théoriques. Ce sont de véritables phénomènes, confirmés par d'innombrables expériences, des accélérateurs de particules aux satellites GPS. Ce sont les conséquences inévitables de la structure profonde de l'espace-temps, telle qu'encodée dans les transformations de Lorentz.