Chapitre 6 : Espace-temps courbé

Dans les chapitres précédents, nous avons vu comment la théorie de la relativité restreinte a révolutionné notre compréhension de l'espace et du temps, les unissant en un espace-temps de Minkowski à quatre dimensions. Nous avons ensuite vu comment le principe d'équivalence et les leçons de la relativité restreinte ont conduit Einstein à sa théorie générale de la relativité, dans laquelle la gravité n'est plus une force, mais une manifestation de l'espace-temps courbé. Dans ce chapitre, nous plongerons plus profondément dans la description mathématique de l'espace-temps courbé fournie par la géométrie riemannienne et le calcul tensoriel. Nous verrons comment ce formalisme mène aux équations de champ d'Einstein, l'équation maîtresse régissant la dynamique de la courbure de l'espace-temps. Enfin, nous explorerons certaines des solutions clés à ces équations, qui nous fournissent des modèles pour comprendre des phénomènes allant des trous noirs à l'évolution de l'univers dans son ensemble.

Les mathématiques de l'espace-temps courbé

L'idée clé de la théorie générale de la relativité d'Einstein est que la gravité n'est pas une force au sens habituel, mais plutôt une manifestation de la courbure de l'espace-temps. En présence de matière et d'énergie, l'espace-temps se courbe, et cette courbure est ce que nous ressentons comme la gravité. Pour donner une description mathématique précise de l'espace-temps courbé, Einstein s'est tourné vers les outils de la géométrie riemannienne et du calcul tensoriel, développés au XIXe siècle par des mathématiciens comme Gauss, Riemann, Ricci et Levi-Civita.

En géométrie riemannienne, un espace courbé est décrit par un tenseur métrique, généralement noté $g_{\mu\nu}$. La métrique encode toutes les informations sur la géométrie de l'espace, nous permettant de calculer les distances, les angles et les volumes. Dans un espace-temps à quatre dimensions, la métrique est une matrice 4x4, avec des indices $\mu$ et $\nu$ allant de 0 à 3 (0 étant généralement réservé à la dimension temporelle). La métrique est symétrique, ce qui signifie que $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, elle comporte donc 10 composantes indépendantes.

La métrique nous permet de calculer l'intervalle d'espace-temps $ds$ entre deux événements proches, généralisant l'intervalle de Minkowski de la relativité restreinte:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Ici, $dx^\mu$ représente un déplacement infinitésimal dans la coordonnée $\mu$. La convention de sommation d'Einstein est utilisée, ce qui signifie que les indices répétés sont sommés.

La métrique nous permet également de définir la notion de transport parallèle, qui nous permet de comparer des vecteurs (et des tenseurs) à différents points dans un espace courbé. Dans un espace plat, le transport parallèle est trivial - un vecteur conserve sa direction lorsqu'il est déplacé le long d'un chemin. Mais dans un espace courbé, le transport parallèle dépend du chemin, ce qui conduit à des phénomènes tels que l'effet géodésique (la rotation d'un vecteur lorsqu'il est transporté parallèlement le long d'un chemin fermé).

La courbure de l'espace-temps est codée dans le tenseur de courbure de Riemann $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, qui est construit à partir de la métrique et de ses dérivées. Le tenseur de Riemann mesure la non-commutativité du transport parallèle, c'est-à-dire combien un vecteur change lorsqu'il est transporté parallèlement le long de deux chemins différents. Si le tenseur de Riemann est nul partout, l'espace est plat (euclidien ou minkowskien). Les composantes non nulles du tenseur de Riemann indiquent la présence de courbure.

À partir du tenseur de Riemann, nous pouvons construire le tenseur de Ricci $R_{\mu\nu}$ en contractant (en sommant) deux des indices :

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

Le tenseur de Ricci, à son tour, peut être contracté pour donner le scalaire de Ricci $R$ :

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

Le tenseur et le scalaire de Ricci fournissent une mesure de la courbure locale à chaque point de l'espace-temps.

Avec ces outils en main, nous pouvons maintenant écrire les équations de champ d'Einstein, l'équation maîtresse de la relativité générale.

Les équations de champ d'Einstein

Les équations de champ d'Einstein fournissent une description dynamique de la manière dont la courbure de l'espace-temps est liée à la présence de matière et d'énergie. Les équations, dans leur forme la plus compacte, s'écrivent comme ceci :

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Ici, $G_{\mu\nu}$ est le tenseur d'Einstein, défini comme :

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

Le tenseur d'Einstein encode des informations sur la courbure de l'espace-temps. Du côté droit, $T_{\mu\nu}$ est le tenseur énergie-impulsion, qui décrit la densité et le flux d'énergie et de quantité de mouvement dans l'espace-temps. La constante $8\pi$ est choisie pour correspondre à la limite newtonienne de la théorie.

Le tenseur énergie-impulsion $T_{\mu\nu}$ est un tenseur symétrique 4x4, avec des composantes ayant des interprétations physiques :

• $T_{00}$ représente la densité d'énergie
• $T_{0i}$ et $T_{i0}$ représentent la densité de quantité de mouvement (flux d'énergie)
• $T_{ij}$ représente la pression

Pour un fluide parfait, le tenseur énergie-impulsion prend la forme suivante :

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

où $\rho$ est la densité d'énergie, $p$ est la pression et $u^\mu$ est la quadri-vitesse du fluide.

Les équations de champ d'Einstein sont un ensemble de 10 équations aux dérivées partielles couplées et non linéaires pour les composantes de la métrique $g_{\mu\nu}$. Ces équations sont notoirement difficiles à résoudre en général, nécessitant des techniques mathématiques sophistiquées et souvent des méthodes numériques. Cependant, un certain nombre de solutions exactes ont été trouvées, qui ont fourni de profondes informations sur la nature de la gravité et la structure de l'univers.

Solutions aux équations d'Einstein

La première solution exacte aux équations d'Einstein a été trouvée par Karl Schwarzschild en 1916, quelques mois seulement après la publication de la théorie par Einstein. La solution de Schwarzschild décrit la géométrie de l'espace-temps à l'extérieur d'une masse sphériquement symétrique, comme une étoile non-rotative ou un trou noir. La métrique de la solution de Schwarzschild est :

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Ici, $M$ est la masse de l'objet central et $(r, \theta, \phi)$ sont les coordonnées sphériques. La solution de Schwarzschild présente plusieurs caractéristiques remarquables :

• À $r=2M$, la métrique semble devenir singulière. Ce rayon, appelé rayon de Schwarzschild ou horizon des événements, est celui où la vitesse d'échappement équivaut à la vitesse de la lumière. Si la masse est comprimée dans ce rayon, elle forme un trou noir.
• Pour « $r<2M$ », les rôles de $r$ et $t$ sont inversés. Se déplacer vers de plus petites valeurs de $r$ revient à se déplacer vers l'avant dans le temps, ce qui signifie qu'une fois à l'intérieur de l'horizon des événements, il est impossible d'éviter d'atteindre la singularité centrale à $r=0$.
• La solution de Schwarzschild prédit l'existence de trous noirs, l'une des prédictions les plus exotiques et fascinantes de la relativité générale.

Une autre solution importante est la métrique Kerr, découverte par Roy Kerr en 1963. La solution de Kerr décrit l'espace-temps autour d'un trou noir en rotation. Elle est nettement plus complexe que la métrique de Schwarzschild, mais présente certaines caractéristiques similaires, telles qu'un horizon des événements et une singularité centrale. La solution de Kerr prédit également l'existence d'une « ergosphère », une région située à l'extérieur de l'horizon des événements où l'espace-temps est entraîné par la rotation du trou noir, un effet connu sous le nom de « traînée de référentiel ».

À l'échelle cosmologique, les solutions les plus importantes des équations d'Einstein sont les métriques de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Ces métriques décrivent des univers homogènes et isotropes, qui se dilatent ou se contractent au fil du temps. Les métriques FLRW sont caractérisées par un facteur d'échelle $a(t)$, qui décrit comment les distances entre les galaxies changent avec le temps, et un paramètre de courbure $k$, qui peut être positif (univers fermé), négatif (univers ouvert) ou nul (univers plat).

Les métriques FLRW conduisent aux équations de Friedmann, qui décrivent l'évolution du facteur d'échelle $a(t)$ en fonction de la densité d'énergie $\rho$ et de la pression $p$ de la matière et de l'énergie dans l'univers :

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Ici, les points indiquent les dérivées par rapport au temps, et $G$ est la constante de gravitation de Newton. Les équations de Friedmann, combinées avec des équations d'état reliant $\rho$ et $p$, fournissent la base du modèle standard du Big Bang en cosmologie. Elles prédisent que l'univers a commencé dans un état chaud et dense, et qu'il s'est dilaté et refroidi depuis lors. Le modèle a connu un grand succès pour expliquer un large éventail d'observations cosmologiques, de l'expansion de l'univers au rayonnement cosmologique micro-onde.

Cependant, le modèle standard du Big Bang n'est pas sans problèmes. Le modèle prédit que l'univers primitif aurait dû être extrêmement uniforme, avec des régions qui ne pouvaient pas être en contact causal ayant des propriétés presque identiques. On appelle cela le problème de l'horizon. Le modèle prédit également l'existence de monopôles magnétiques, qui n'ont jamais été observés. Ces problèmes et d'autres ont conduit au développement de la théorie de l'inflation cosmique dans les années 1980.

L'inflation postule que l'univers très primitif a connu une période d'expansion exponentielle, provoquée par l'énergie d'un champ scalaire appelé inflaton. Cette expansion rapide aurait lissé toutes les inhomogénéités initiales, résolvant ainsi le problème de l'horizon. Elle aurait également dilué les monopôles magnétiques à des niveaux inobservables. L'inflation fait plusieurs prédictions, telles qu'un univers légèrement non plat et un spectre spécifique de fluctuations de densité primordiales, qui ont été confirmées par les observations du rayonnement cosmologique micro-onde.

Un autre développement majeur en cosmologie a été la découverte de l'énergie sombre à la fin des années 1990. Les observations de supernovae lointaines ont montré que l'expansion de l'univers s'accélère, contrairement aux attentes du modèle standard du Big Bang avec de la matière et du rayonnement seulement. Cette accélération est attribuée à une composante mystérieuse appelée énergie sombre, qui agit comme une pression négative, repoussant l'univers. Le modèle le plus simple pour l'énergie sombre est la constante cosmologique, introduite à l'origine par Einstein comme une modification de ses équations pour permettre un univers statique. La constante cosmologique est équivalente à l'énergie du vide et est caractérisée par une équation d'état $p=-\rho$.

Le modèle standard actuel de la cosmologie, appelé modèle Lambda-CDM, inclut à la fois l'énergie sombre sous la forme d'une constante cosmologique ($\Lambda$) et de la matière sombre froide (Cold Dark Matter, CDM), une forme de matière qui n'interagit que gravitationnellement et qui est nécessaire pour expliquer la formation des galaxies et la structure à grande échelle de l'univers. Le modèle Lambda-CDM a connu un grand succès en ajustant un large éventail de données cosmologiques, mais la nature physique de la matière sombre et de l'énergie sombre reste l'un des plus grands mystères en physique.

Conclusion

La théorie générale de la relativité d'Einstein offre une description magnifique et profonde de la gravité comme la courbure de l'espace-temps. Le formalisme mathématique de la géométrie riemannienne et du calcul tensoriel nous permet de quantifier cette courbure et sa relation avec la présence de matière et d'énergie. Les équations de champ d'Einstein, l'équation maîtresse de la théorie, ont été résolues dans plusieurs cas importants, conduisant à des prédictions de phénomènes tels que les trous noirs et l'expansion de l'univers.

L'application de la relativité générale à la cosmologie a conduit au développement du modèle du Big Bang, qui décrit l'évolution de l'univers d'un état initial chaud et dense à sa phase actuelle d'expansion. La découverte de la matière sombre et de l'énergie sombre a nécessité des extensions à ce modèle, conduisant au modèle standard actuel de la cosmologie, le modèle Lambda-CDM. Malgré ses succès, la relativité générale n'est pas la dernière parole en matière de gravité. La théorie s'effondre au centre des trous noirs et au tout début de l'univers, là où les effets quantiques deviennent importants. Réunir la relativité générale avec la mécanique quantique reste l'un des grands défis de la physique théorique. Des candidats pour une théorie quantique de la gravité, tels que la théorie des cordes et la gravité quantique en boucle, sont des domaines actifs de recherche.

De plus, les mystères de la matière noire et de l'énergie sombre suggèrent que notre compréhension de la gravité et du contenu de l'univers est loin d'être complète. Les observations en cours et à venir, des détecteurs d'ondes gravitationnelles aux missions spatiales étudiant le fond diffus cosmologique, promettent d'éclairer ces mystères et de tester la relativité générale dans des conditions de plus en plus extrêmes.