Глава 6: Искривленное пространство-время

В предыдущих главах мы видели, как специальная теория относительности революционизировала наше понимание пространства и времени, объединяя их в четырехмерное пространство Минковского. Затем мы видели, как принцип эквивалентности и уроки специальной теории относительности привели Эйнштейна к его общей теории относительности, в которой гравитация больше не является силой, а проявлением искривленного пространства-времени. В этой главе мы углубимся в математическое описание искривленного пространства-времени, предоставленное римановой геометрией и тензорным исчислением. Мы увидим, как этот формализм приводит к уравнениям поля Эйнштейна, главному уравнению, определяющему динамику кривизны пространства-времени. Наконец, мы исследуем некоторые ключевые решения этих уравнений, которые предоставляют нам модели для понимания явлений, простирающихся от черных дыр до эволюции всей вселенной в целом.

Математика искривленного пространства-времени

Ключевой идеей общей теории относительности Эйнштейна является то, что гравитация не является силой в обычном смысле, а проявлением кривизны пространства-времени. В присутствии материи и энергии пространство-время становится искривленным, и именно эту кривизну мы испытываем как гравитацию. Чтобы получить точное математическое описание искривленного пространства-времени, Эйнштейн обратился к инструментам римановой геометрии и тензорного исчисления, разработанным в 19 веке математиками, такими как Гаусс, Риман, Риччи и Леви-Чивита.

В римановой геометрии искривленное пространство описывается метрическим тензором, обычно обозначаемым как $g_{\mu\nu}$. Метрика кодирует всю информацию о геометрии пространства, позволяя нам вычислять расстояния, углы и объемы. В четырехмерном пространстве-времени метрика является матрицей размером 4x4, с индексами $\mu$ и $\nu$, изменяющимися от 0 до 3 (с 0 обычно зарезервированным для временного измерения). Метрика является симметричной, что означает, что $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, поэтому у нее 10 независимых компонент.

Метрика позволяет нам получить пространственно-временной интервал $ds$ между двумя близкими событиями, обобщая интервал Минковского специальной теории относительности:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Здесь $dx^\mu$ представляет бесконечно малое перемещение в $\mu$-й координате. Используется соглашение о суммировании Эйнштейна, что означает, что повторяющиеся индексы суммируются.

Метрика также позволяет определить понятие параллельного переноса, который позволяет нам сравнивать векторы (и тензоры) в разных точках искривленного пространства. В плоском пространстве параллельный перенос тривиален - вектор сохраняет свое направление при перемещении по пути. Но в искривленном пространстве параллельный перенос зависит от пути, что приводит к явлениям, таким как геодезический эффект (вращение вектора при параллельном переносе по замкнутому пути).

Кривизна пространства-времени закодирована в тензоре кривизны Римана $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, который строится на основе метрики и ее производных. Тензор Римана измеряет некоммутативность параллельного переноса, то есть насколько вектор изменяется при параллельном переносе по двум разным путям. Если тензор Римана везде равен нулю, то пространство является плоским (евклидовым или минковским). Ненулевые компоненты тензора Римана указывают на наличие кривизны.

Из тензора Римана мы можем построить тензор Риччи $R_{\mu\nu}$, сжимая (суммируя) два из индексов:

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

Тензор Риччи seiner, seiner aura Unterschiedlicher Punkt:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

Тензор Риччи и скаляр Риччи предоставляют меру локальной кривизны в каждой точке пространства-времени.

Имея под рукой эти инструменты, мы теперь можем записать уравнения поля Эйнштейна, главное уравнение общей теории относительности.

Уравнения поля Эйнштейна

Уравнения поля Эйнштейна дают динамическое описание того, как кривизна пространства-времени связана с наличием материи и энергии. Уравнения в самой компактной форме записываются следующим образом:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Здесь $G_{\mu\nu}$ - тензор Эйнштейна, определенный как:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

Тензор Эйнштейна кодирует информацию о кривизне пространства-времени. Справа $T_{\mu\nu}$ - тензор энергии-импульса, описывающий плотность и поток энергии и импульса в пространстве-времени. Постоянная $8\pi$ выбирается для согласования с ньютоновским пределом теории.

Тензор энергии-импульса $T_{\mu\nu}$ - это симметричный 4x4 тензор с компонентами, имеющими физическую интерпретацию:

• $T_{00}$ представляет плотность энергии
• $T_{0i}$ и $T_{i0}$ представляют плотность импульса (поток энергии)
• $T_{ij}$ представляет напряжение (давление)

Для идеальной жидкости тензор энергии-импульса принимает форму:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

где $\rho$ - плотность энергии, $p$ - давление, а $u^\mu$ - четырехскорость жидкости.

Уравнения поля Эйнштейна представляют собой систему из 10 связанных нелинейных уравнений в частных производных для компонент метрики $g_{\mu\nu}$. Эти уравнения известны своей известной сложностью в общем случае, требующей сложных математических методов и часто численных методов. Однако было найдено несколько точных решений, которые дали глубокие представления о природе гравитации и структуре вселенной.

Решения уравнений Эйнштейна

Первое точное решение уравнений Эйнштейна было найдено Карлом Шварцшильдом в 1916 году всего несколько месяцев после публикации Эйнштейна его теории. Решение Шварцшильда описывает геометрию пространства-времени вне сферически симметричной массы, например, невращающейся звезды или черной дыры. Метрика для решения Шварцшильда имеет вид:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Здесь $M$ - масса центрального объекта, а $(r,\theta,\phi)$ - сферические координаты. Решение Шварцшильда имеет несколько замечательных особенностей:

• При $r=2M$ метрика, кажется, становится особой. Этот радиус, называемый радиусом Шварцшильда или горизонтом событий, является радиусом, при котором скорость побега равна скорости света. Если масса сжата внутри этого радиуса, образуется черная дыра.
• Для $r<2M$ роли $r$ и $t$ меняются местами. Движение к меньшему $r$ аналогично движению вперед во времени, что означает, что после попадания в горизонт событий невозможно избежать достижения центральной особой точки при $r=0$.
• Решение Шварцшильда предсказывает существование черных дыр, одного из наиболее экзотических и увлекательных предсказаний общей теории относительности.

Еще одно важное решение - метрика Керра, найденная Роем Керром в 1963 году. Решение Керра описывает пространство-время вокруг вращающейся черной дыры. Оно значительно сложнее метрики Шварцшильда, но имеет некоторые схожие особенности, такие как горизонт событий и центральную особую точку. Решение Керра также предсказывает существование "эргосферы", области за горизонтом событий, где пространство-время перетаскивается вместе с вращением черной дыры, явление, известное как "перетаскивание рамки".

На космологических масштабах наиболее важными решениями уравнений Эйнштейна являются метрики Фридмана-Леметра-Робертсона-Уокера (FLRW). Эти метрики описывают однородные и изотропные вселенные, которые расширяются или сжимаются со временем. Метрики FLRW характеризуются масштабным множителем $a(t)$, описывающим изменение расстояний между галактиками со временем, и параметром кривизны $k$, который может быть положительным (закрытая вселенная), отрицательным (открытая вселенная) или нулевым (плоская вселенная).

Метрики FLRW приводят к уравнениям Фридмана, которые описывают эволюцию масштабного множителя $a(t)$ в зависимости от плотности энергии $\rho$ и давления $p$ материи и энергии во вселенной:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Здесь точки обозначают временные производные, а $G$ - постоянная Ньютона. Уравнения Фридмана, в сочетании с уравнениями состояния $\rho$ и $p$, лежат в основе стандартной Большой Взрыв модели космологии. Они предсказывают, что вселенная начала свое существование в горячем и плотном состоянии и с тех пор расширяется и остывает. Эта модель имела огромный успех в объяснении широкого спектра космологических наблюдений, от расширения вселенной до космического микроволнового фона.

Однако стандартная модель Большого Взрыва не без своих проблем. Модель предсказывает, что ранняя вселенная должна была быть крайне однородной, с регионами, которые не могли быть в эволюционном контакте, имеющими практически идентичные свойства. Это известно как проблема горизонта. Модель также предсказывает существование магнитных монополей, которые никогда не были обнаружены. Эти и другие проблемы привели к развитию теории космического инфляционного расширения в 1980-х годах.

Инфляция предполагает, что очень ранняя вселенная перешла через период экспоненциального расширения, вызванного энергией скалярного поля, называемого инфлатоном. Быстрое расширение должно было сгладить любые начальные неоднородности, решив проблему горизонта. Оно также должно было разбавить любые магнитные монополи до ненастоящих уровней. Инфляция делает несколько предсказаний, таких как немного не плоская вселенная и определенный спектр первоначальных флуктуаций плотности, которые были подтверждены наблюдениями космического микроволнового фона.

Еще одним крупным достижением в космологии стало открытие темной энергии в конце 1990-х годов. Наблюдения далеких сверхновых показали, что расширение вселенной ускоряется, вопреки ожиданиям стандартной модели Большого Взрыва только с материей и излучением. Это ускорение объясняется таинственным компонентом, называемым темной энергией, которая действует как отрицательное давление, отталкивая вселенную. Самая простая модель темной энергии - космологическая константа, изначально введенная Эйнштейном в качестве модификации его уравнений для возможности статичной вселенной. Космологическая константа эквивалентна энергии вакуума и характеризуется уравнением состояния $p=-\rho$.

Текущая стандартная модель космологии, известная как модель Лямбда-СДМ, включает как темную энергию в виде космологической константы ($\Lambda$), так и холодную темную материю (СДМ), форму материи, взаимодействующей только гравитационно, и которая необходима для объяснения формирования галактик и крупномасштабной структуры вселенной. Модель Лямбда-СДМ имела огромный успех в применении к широкому спектру космологических данных, но физическая природа как темной материи, так и темной энергии остается одной из самых больших загадок физики.

Заключение

Общая теория относительности Эйнштейна представляет собой красивое и глубокое описание гравитации как кривизны пространства-времени. Математический формализм римановой геометрии и тензорного исчисления позволяет нам количественно оценить эту кривизну и её связь с присутствием материи и энергии. Уравнения Эйнштейна, главное уравнение теории, были решены в нескольких важных случаях, что привело к предсказанию явлений, таких как черные дыры и расширение вселенной.

Применение общей теории относительности к космологии привело к разработке модели Большого Взрыва, которая описывает эволюцию вселенной от горячего и плотного начального состояния до её текущей экспансии. Обнаружение тёмной материи и тёмной энергии требовало расширения этой модели, что привело к текущей стандартной модели космологии - модели Лямбда-СДМ.

title: Основные достижения и вызовы в гравитации language: ru

Несмотря на свои успехи, общая теория относительности не является последним словом в гравитации. Теория терпит неудачу в центре черных дыр и в самом начале Вселенной, когда важными становятся квантовые эффекты. Объединение общей теории относительности с квантовой механикой остается одной из великих проблем теоретической физики. Кандидаты на квантовую теорию гравитации, такие как струнная теория и петлевая квантовая гравитация, являются активными областями исследования.

Более того, тайны темной материи и темной энергии подсказывают, что наше понимание гравитации и состава Вселенной далеко не полное. Непрерывные и будущие наблюдения, от детекторов гравитационных волн до спутниковых миссий, изучающих космический микроволновой фон, обещают пролить новый свет на эти загадки и проверить общую теорию относительности в все более экстремальных условиях.