第6章: 曲がった時空

前の章では、特殊相対性理論が私たちの空間と時間の理解を根本的に変革し、それらを四次元のミンコウスキー時空に統合することを見てきました。そして、等価性の原理と特殊相対性の教訓が、アインシュタインを彼の一般相対性理論へ導きました。その理論では、重力はもはや力ではなく、曲がった時空の現れです。この章では、リーマン幾何学とテンソル解析によって提供される曲がった時空の数学的な記述により、さらに詳しく掘り下げます。この形式主義がアインシュタインの場の方程式につながり、時空の曲率の力学を統治する基本方程式となることを見るでしょう。最後に、これらの方程式のいくつかの主要な解を探求し、ブラックホールから宇宙全体の進化まで、現象の理解を提供します。

曲がった時空の数学

アインシュタインの一般相対性理論の重要な洞察は、重力が通常の意味での力ではなく、むしろ時空の曲率の現れであるということです。物質とエネルギーの存在下では、時空は曲がり、この曲率が私たちが重力として経験するものです。曲がった時空の正確な数学的記述を与えるために、アインシュタインはガウス、リーマン、リッチ、レヴィ＝チヴィタなどの数学者たちによって19世紀に開発されたリーマン幾何学とテンソル解析のツールに頼りました。

リーマン幾何学では、曲がった空間はメトリックテンソルによって記述されます。通常は$g_{\mu\nu}$と表されます。メトリックは空間の幾何学に関するすべての情報をエンコードし、距離、角度、体積を計算することができます。4次元の時空では、メトリックは4x4行列であり、指標$\mu$と$\nu$は0から3までの範囲を取ります（0は通常、時間次元に予約されています）。メトリックは対称であるため、$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$となり、10個の独立した成分を持ちます。

メトリックによって、2つの近くのイベント間の時空間の間隔$ds$を計算することができます。これは特殊相対性のミンコウスキー間隔を一般化したものです。

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

ここで、$dx^\mu$は第$\mu$座標の微小変位を表します。重複する添字は総和規約が使用されます。

メトリックはまた、平行輸送という概念を定義することもできます。これは、曲がった空間の異なる点でベクトル（およびテンソル）を比較する方法です。平らな空間では、平行輸送は自明です - ベクトルは経路に沿って方向を維持します。しかし、曲がった空間では、平行輸送は経路に依存し、ジオデシック効果（閉じた経路に沿って平行輸送されているベクトルの回転など）などの現象が生じます。

時空の曲率は、リーマン曲率テンソル$R_{\mu\nu\rho\sigma}$にエンコードされます。これはメトリックとその導関数から構築されます。リーマンテンソルは平行輸送の非可換性、つまり2つの異なる経路に沿って平行輸送されるときにベクトルがどれだけ変化するかを測定します。もしリーマンテンソルがどこでもゼロであれば、空間は平ら（ユークリッドまたはミンコウスキー）です。リーマンテンソルの非ゼロ成分は、曲率の存在を示します。

リーマンテンソルから、2つの添字を縮約（合計）することでリッチテンソル$R_{\mu\nu}$を構築することができます。

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

リッチテンソルは次にリッチスカラー$R$を縮約することで得られます。

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

リッチテンソルとスカラーは、時空の各点の局所曲率を示します。

これらのツールを手に入れたので、アインシュタインの場の方程式、つまり一般相対性理論の主要な方程式を書き下すことができます。

アインシュタインの場の方程式

アインシュタインの場の方程式は、時空の曲率が物質とエネルギーの存在と関連している動的な説明を提供します。方程式は、最も簡潔な形で次のように書かれます。

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

ここで、$G_{\mu\nu}$はアインシュタインテンソルであり、次のように定義されます。

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

アインシュタインテンソルは時空の曲率に関する情報をエンコードしています。右辺の$T_{\mu\nu}$は、エネルギーと運動量の密度と流量を記述する応力エネルギーテンソルです。定数$8\pi$は理論のニュートン極限に一致するように選ばれています。

応力エネルギーテンソル$T_{\mu\nu}$は対称な4x4テンソルであり、物理的な解釈を持つ成分を持っています。

• $T_{00}$はエネルギー密度を表します
• $T_{0i}$と$T_{i0}$は運動量密度（エネルギー流量）を表します
• $T_{ij}$は応力（圧力）を表します

完全流体の場合、応力エネルギーテンソルは次の形を取ります。

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

ここで、$\rho$はエネルギー密度、$p$は圧力、$u^\mu$は流体の四速度です。

アインシュタインの場の方程式は、メトリック成分$g_{\mu\nu}$のための10個の連立非線形偏微分方程式の集まりです。これらの方程式は一般に解くのが非常に難しく、高度な数学的手法や数値解法が必要です。しかし、いくつかの厳密解が見つかっており、重力の性質や宇宙の構造についての深い洞察を提供しています。

アインシュタインの方程式の解

アインシュタインの方程式の最初の厳密解は、1916年にアインシュタインが彼の理論を発表した後わずか数か月でカール・シュワルツシルトによって見つけられました。シュワルツシルト解は、球対称の質量（非回転の星やブラックホールなど）の外部の時空の幾何学を記述します。シュワルツシルト解のメトリックは次のようになります。 以下は、日本語に翻訳されたマークダウンファイルです。もしフロントマターがある場合は、languageパラメーターをjaに対応するように翻訳してください。コードについては、コメントのみを翻訳し、コードそのものは翻訳しないでください。以下がファイルです：

以下、$M$は中心物体の質量であり、$(r,\theta,\phi)$は球座標です。シュワルツシルト解にはいくつかの注目すべき特徴があります：

• $r=2M$では、メトリックは異常になるように見えます。この半径はシュワルツシルト半径またはイベントホライズンと呼ばれ、脱出速度が光速と等しくなる場所です。質量がこの半径内に圧縮されると、ブラックホールが形成されます。
• $r<2M$の場合、$r$と$t$の役割は入れ替わります。$r$を小さくすることは、時間の経過と同じように前に進むことを意味します。つまり、イベントホライズンの内側に入ると、中心の特異点である$r=0$に到達するのを回避することはできません。
• シュワルツシルト解は、一般相対性理論の最も異常で魅力的な予測の一つであるブラックホールの存在を予測します。

もう一つ重要な解は、ロイ・カーが1963年に発見したカー計量です。カー解は回転するブラックホールの周囲の時空を記述します。シュワルツシルト計量よりも複雑ですが、イベントホライズンと中心の特異点などいくつかの類似点があります。カー解はまた、フレームドラギングとして知られる効果で、イベントホライズンの外側の領域で時空がブラックホールの回転とともに引きずられる存在である「エルゴスフィア」の存在を予測します。

宇宙論的なスケールでは、アインシュタインの方程式の最も重要な解は、フリードマン・ルメートル・ロバートソン・ウォーカー（FLRW）計量です。これらの計量は均質かつ等方的な宇宙を記述し、時間とともに拡大または収縮します。FLRW計量は、銀河間の距離が時間とともにどのように変化するかを表すスケールファクター$a(t)$と、正（閉じた宇宙）、負（開いた宇宙）、またはゼロ（平坦な宇宙）である曲率パラメーター$k$によって特徴付けられます。

FLRW計量は、エネルギー密度$\rho$と圧力$p$に関連する状態方程式と組み合わせたフリードマン方程式によって、スケールファクター$a(t)$の進化を記述します。

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

ここで、ドットは時間微分を表し、$G$はニュートン定数です。フリードマン方程式は、$\rho$と$p$の関係する状態方程式と組み合わせて、宇宙のエネルギー密度と圧力に基づく標準的なビッグバンモデルの基礎を提供します。このモデルは、宇宙が熱くて密度の高い状態で始まり、それ以来拡大して冷却していると予測しています。このモデルは、宇宙の膨張から宇宙背景放射まで、幅広い宇宙論的観測を驚くほど成功裏に説明しています。

ただし、標準的なビッグバンモデルには問題があります。このモデルでは、早期の宇宙は因果関係のない接触ができない領域で、ほぼ同じ特性を持っている必要があると予測されています。これをホライズン問題と呼びます。このモデルではまた、観測されたことのない磁気モノポールの存在を予測します。これらとその他の問題から、1980年代には宇宙インフレーション理論の発展が生まれました。

インフレーション理論は、非常に初期の宇宙がインフレーションと呼ばれる指数関数的な膨張期を経験し、インフラトンと呼ばれるスカラーフィールドのエネルギーによって駆動されたと仮定しています。この急激な膨張は初期の非均質性を平滑化し、ホライズン問題を解決します。また、インフレーションは、わずかに非平坦な宇宙と特定の原始的密度ゆらぎのスペクトルなどのいくつかの予測を行いますが、これらは宇宙マイクロ波背景放射の観測によって確認されています。

宇宙論のもう一つの重要な進展は、1990年代の暗黒エネルギーの発見です。遠くの超新星の観測から、宇宙の膨張が通常の物質や放射線だけでは予想に反して加速していることがわかりました。この加速は、宇宙を広げるようなネガティブな圧力のように振る舞う謎の成分である暗黒エネルギーに帰因されます。暗黒エネルギーの最も単純なモデルは、元々アインシュタインが静的な宇宙を可能にするために彼の方程式に導入した宇宙定数です。宇宙定数は真空のエネルギーに相当し、状態方程式$p=-\rho$で特徴付けられます。

現在の標準的な宇宙論モデルであるΛCDMモデルには、宇宙定数（Λ）を含む暗黒エネルギーと、重力だけと相互作用する種類の物質である冷たい暗黒物質（CDM）が含まれています。ΛCDMモデルは、幅広い宇宙論的データに適合することが非常に成功していますが、暗黒物質と暗黒エネルギーの物理的な性質は、物理学の最大の謎の一つです。

結論

アインシュタインの一般相対性理論は、重力を時空の曲率として美しく深い形で記述します。リーマン幾何学とテンソル解析の数学的形式は、この曲率と物質とエネルギーの存在との関係を定量化することを可能にします。アインシュタインの場の方程式、つまりこの理論の基本方程式は、重要ないくつかの場合に解かれ、ブラックホールや宇宙の膨張などの現象の予測につながっています。

一般相対性理論を宇宙論に適用することは、ビッグバンモデルの発展につながり、宇宙が熱くて密度の高い初期状態から現在の膨張期に至るまでの宇宙の進化を記述します。暗黒物質と暗黒エネルギーの発見により、このモデルに拡張が必要とされ、現在の標準的な宇宙論モデルであるΛCDMモデルへと進化しました。 重力に関する最終的な言葉として、一般相対性理論は成功を収めていますが、ブラックホールの中心や宇宙の始まりのような場所では、量子効果が重要になり、理論は崩壊します。一般相対性理論を量子力学と統一することは、理論物理学の大きな挑戦の一つです。弦理論やループ量子重力のような重力の量子理論の候補は、研究の活発な分野です。

さらに、暗黒物質と暗黒エネルギーの謎は、重力と宇宙の中身に関する私たちの理解が完全ではないことを示唆しています。引力波検出器から宇宙マイクロ波背景を研究する衛星ミッションまで、進行中および将来の観測は、これらの謎に新たな光を当て、より極端な条件で一般相対性理論を検証する約束をしています。