第2章：ローレンツ変換

前章では、相対性理論の特別な理論を構築するために、相対性の原理と光速度の一定性を紹介し、空間と時間の性質について驚くべき結論に至ることを見ました。特に、同時性の概念が相対的であり、動く時計は静止している時計に比べて遅れることがわかりました。

ただし、これらの効果を定量的に説明するために必要な数学的な手法はまだ開発されていません。この章では、特殊相対性の数学的な中核であるローレンツ変換を紹介します。これらの変換を使用すると、異なる慣性系間のイベントの空間と時間座標を関連付けることができます。アインシュタインの公理からローレンツ変換を導出し、その結果を探求して、空間と時間の概念の根本的な再定式化につながる方法を見ていきます。

新しい変換の必要性

古典的なニュートン力学では、2つの慣性系の座標の関係はガリレイ変換によって与えられます。SとS'の2つの慣性系があり、S'がx軸に沿って速度vでSに対して運動している場合、ガリレイ変換は次のように述べます：

x' = x - vt y' = y z' = z t' = t

ここで、(x、y、z、t)はS系でのイベントの座標であり、(x'、y'、z'、t')は同じイベントのS'系での座標です。これらの変換は、絶対的な空間と時間の概念を具現化しています。時間はすべての参照系で同じであり（t' = t）、長さもフレーム間で不変です。

しかし、ガリレイ変換は光速の一定性と互換性がありません。光が速度cでS系で移動する場合、ガリレイ速度加法則によれば、光はS'系では速度c-vで移動するはずです。しかし、これはアインシュタインの第2の公理に反します。すなわち、光速度はすべての慣性系で同じであるということです。

この矛盾を解消するために、光速を不変に保つ新しい変換が必要です。それがローレンツ変換です。

ローレンツ変換の導出

ローレンツ変換を導出するために、S系の原点（x = 0、t = 0）で発射された光パルスを考えてみましょう。S系では、このパルスの伝播は次の方程式で記述されます：

x^2 + y^2 + z^2 = c^2t^2

これは、3つの空間次元と時間次元を加えたピタゴラスの定理に、光速度cが空間と時間の単位間を変換する要素として変換されています。

さて、同じ光パルスをS'系の観点から見てみましょう。相対性の原理では、このパルスはS'系でも波動方程式を満たす必要があります：

x'^2 + y'^2 + z'^2 = c^2t'^2

この不変性が維持されるように、非プライムとプライムの座標間の変換を見つけることが私たちの課題です。最も単純な変換は次のようになります：

x' = γ(x - vt) y' = y z' = z t' = γ(t - vx/c^2)

ここで、γ = 1/√(1 - v^2/c^2)はローレンツ因子です。これらがローレンツ変換です。これらの式をプライムの波動方程式に代入すると、非プライムの方程式を復元できることを確認できます。これにより、光速の不変性が示されます。

ローレンツ変換についてのいくつかの重要なポイント：

1. 限りv << c、つまり相対速度が光速の遥かに小さい場合、ガリレイ変換に一致します。この場合、γ≈1です。

2. これは4次元時空での単なる回転ではありません。空間と時間座標の混合（x'はtに依存し、t'はxに依存します）は、重要な結果をもたらします。

3. ローレンツ変換は合成において群を形成し、ローレンツ変換の列は単一のローレンツ変換と等価です。この群構造が特殊相対性の自己整合性の基礎です。

ローレンツ変換の結果

ローレンツ変換は、古典的な直感に反する多くの驚くべき効果をもたらします。いくつかの結果を見てみましょう。

時間の遅れ

S'系で静止している時計を考えてみましょう。時計のチックは、∆x'=0で特徴付けられます。つまり、S'系で同じ空間位置で発生します。S'系でのチックの間隔は∆t'です。S系ではこれらの同じチックの間隔は何ですか？

ローレンツ変換を使用して時間間隔を関連付けることができます：

∆t = γ∆t'

γ > 1なので、これは∆t > ∆t'を意味します。つまり、動く時計は静止している時計に比べてγ倍遅れているように見えます。これが特殊相対性の有名な時間の遅れ効果です。

信号の伝播時間や時計の仕組みによる錯覚ではないことを強調することは重要です。時間自体が動くということです。各フレームの時刻の知覚は同じくらい有効です。

長さの収縮

次に、S'系で静止しているx'-軸に沿って整列された棒を考えてみましょう。棒の本来の長さはL'となります。つまり、その端点の座標は∆x' = L'を満たします。S系での棒の長さは何ですか？

これを求めるために、Sで棒の端点の座標を同時に測定する必要があります。ローレンツ変換で∆t = 0と設定すると、次のようになります：

∆x = ∆x'/γ = L'/γ

γ > 1なので、これはL < L'を意味します。動く棒は、移動方向に沿ってγ倍収縮します。これがローレンツ収縮の現象です。

再度、これは視点や測定の問題ではありません。棒は本来のフレームよりも短くなっています。棒が相対的な速度に加速されると、物理的に収縮します。

同時性の相対性

ローレンツ変換の最も直感に反する結果は、同時性の相対性です。一つのフレームで同時的なイベントは、一般的には他のフレームでは同時的ではありません。

S'系で同時的な2つのイベントAとBを考えてみましょう。これらは∆x'だけ離れているとします。S'系では次のようになります：

t'_A = t'_B x'_B - x'_A = ∆x' ローレンツ変換を使用することで、私たちはSでのこれらの出来事の時間差を見つけることができます：

t_B - t_A = -γv∆x'/c^2

∆x' = 0でない限り（つまり、出来事がS'で同じ空間位置で発生することを意味する）、この時間差はゼロではありません。出来事AとBはSでは同時ではありません。

これにより、ニュートンの絶対同時性の考え方が打ち砕かれます。2つの出来事が同時であるかどうかは、基準座標系に依存します。時空を切り開く普遍的に合意された「今」はありません。

ローレンツ変換と時空

ローレンツ変換は、空間と時間の間の深いつながりを明らかにします。古典的な世界観では、空間と時間は別々で絶対的な存在です。しかし特殊相対性理論では、それらは密接に結びついて相対的です。

このつながりは、ヘルマン・ミンコフスキーによって導入された時空の概念で明示的になります。時空は、3次元空間と1次元時間の合体によって形成される4次元多様体です。イベントはこの4次元時空の点であり、(t、x、y、z)の四つの座標で特徴付けられます。

この視点では、ローレンツ変換は4次元時空での回転です。3次元の回転がx、y、z座標を混合して距離を保持するのと同様に、ローレンツ変換はt、x、y、zを混合して時空間隔を保持します：

∆s^2 = -c^2∆t^2 + ∆x^2 + ∆y^2 + ∆z^2

この時空間隔は、種類の4次元の「距離」であり、ローレンツ変換によって不変です。これは特殊相対性理論の基本的な幾何学的対象です。

この時空観において、相対性理論の見かけ上の逆説的な効果の多くが直感的になります。たとえば、同時性の相対性は単に、異なる観測者が時の一定の超平面で時空を切り開くという事実の結果です。

したがって、ローレンツ変換は、単なる基準座標系間の変換に関する数学的なツール以上のものです。それらは空間と時間の本質に関する私たちの理解の根本的な変化を表しています。空間と時間は古典物理学の不変で絶対的な存在ではなく、代わりに可変的で相対的であり、時空の組織体に織り込まれています。

結論

ローレンツ変換は、アインシュタインの空間と時間の本質に対する革命的な洞察の数学的体現です。相対性の原理と光速度の一定性から導かれ、慣性系の間で物理的な記述を変換するための枠組みを提供します。

しかし、その意義は単なる座標変換を超えています。ローレンツ変換は、時間が膨張し、長さが収縮し、同時性が相対的である世界を明らかにします。それらは4次元時空連続体に空間と時間を統一し、それらの区別がぼやけている世界です。

次の章では、ローレンツ変換のさらなる結果、例えば有名な双子のパラドックスや質量とエネルギーの同等性を探求します。これらの変換とそれらがインスピレーションを与える時空観によって、物理的な宇宙のさらなる理解に辿り着くことができます。

特殊相対性理論の旅を続けるにあたり、時間の膨張、長さの収縮、同時性の相対性などのこれらの奇妙な効果は、単なる理論的な好奇心に留まるものではありません。これらは、粒子加速器からGPS衛星まで、数々の実験によって確認された実在の現象です。それらは、ローレンツ変換にコーディングされた時空の深い構造の必然的な結果です。