第六章：曲线时空

在前几章中，我们看到了狭义相对论如何革命性地改变了我们对空间和时间的理解，将它们统一成了一个四维闵可夫斯基时空。然后我们看到了等效原理和狭义相对论的教训如何引导爱因斯坦提出了他的广义相对论，在这里，引力不再是一种力，而是曲线时空的一种表现。在本章中，我们将深入探讨由黎曼几何和张量微积分提供的曲线时空的数学描述。我们将看到这个形式主义如何导致爱因斯坦的场方程，这个方程是描述时空曲率动力学的主方程。最后，我们将探索这些方程的一些关键解，这些解提供了理解从黑洞到整个宇宙演化的现象的模型。

曲线时空的数学

爱因斯坦广义相对论的关键洞见是，引力不是通常意义上的力，而是曲线时空的一种表现。在物质和能量的存在下，时空变得弯曲，而这种弯曲就是我们所体验到的引力。为了对曲线时空进行精确的数学描述，爱因斯坦利用了黎曼几何和张量微积分的工具，这些工具是19世纪由高斯、黎曼、里奇和李维-奇维塔等数学家发展起来的。

在黎曼几何中，一个弯曲的空间由度量张量描述，通常表示为$g_{\mu\nu}$。度量张量包含了关于空间几何的所有信息，使我们能够计算距离、角度和体积。在四维时空中，度量张量是一个4x4的矩阵，指标$\mu$和$\nu$从0到3（其中0通常保留给时间维度）。度量张量是对称的，意味着$g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$，因此它有10个独立的分量。

度量张量使我们能够计算两个相邻事件之间的时空间隔$ds$，推广了狭义相对论中的闵可夫斯基间隔：

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

这里，$dx^\mu$表示在第$\mu$个坐标上的微小位移。使用爱因斯坦求和约定，即重复指标求和。

度量张量还使我们能够定义平行传送的概念，这是我们如何在曲线空间中比较不同点处的矢量（和张量）。在平坦空间中，平行传送是微不足道的-一个矢量沿着路径移动时保持其方向不变。但在曲线空间中，平行传送是路径相关的，导致了像测地效应（矢量在沿闭合路径平行传送时的旋转）这样的现象。

时空的弯曲被编码在黎曼曲率张量$R_{\mu\nu\rho\sigma}$中，它是由度量张量及其导数构造的。黎曼张量测量了平行传送的非交换性，即当矢量沿两条不同路径进行平行传送时，其变化程度有多大。如果黎曼张量在每个地方都为零，则空间是平坦的（欧几里德或闵可夫斯基）。黎曼张量的非零分量表示有曲率存在。

从黎曼张量，我们可以构造缩并（对两个指标求和）得到里奇张量$R_{\mu\nu}$：

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

里奇张量又可以缩并得到里奇标量$R$：

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

里奇张量和标量提供了时空中每个点的局部曲率的度量。

有了这些工具，我们现在可以写出爱因斯坦的场方程，这是广义相对论的主方程。

爱因斯坦场方程

爱因斯坦的场方程提供了描述时空曲率与物质和能量存在的关系的动力学描述。这些方程的最紧凑形式如下：

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

这里，$G_{\mu\nu}$是爱因斯坦张量，定义为：

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

爱因斯坦张量包含了时空曲率的信息。在等号右边，$T_{\mu\nu}$是能量动量张量，描述了时空中能量和动量的密度和流量。常量$8\pi$是为了与理论的牛顿极限相吻合。

能量动量张量$T_{\mu\nu}$是一个对称的4x4张量，其分量具有物理解释：

• $T_{00}$表示能量密度
• $T_{0i}$和$T_{i0}$表示动量密度（能量通量）
• $T_{ij}$表示应力（压力）

对于完美流体，能量动量张量的形式为：

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

其中$\rho$是能量密度，$p$是压力，$u^\mu$是流体的四速。

爱因斯坦的场方程是一组涉及度规分量$g_{\mu\nu}$的10个耦合的非线性偏微分方程。这些方程在一般情况下求解起来非常困难，需要复杂的数学技巧和通常是数值方法。然而，已经找到了许多精确解，这些解对于理解引力的性质和宇宙的结构提供了深刻的见解。

爱因斯坦方程的解

爱因斯坦方程的第一个精确解是由卡尔·施瓦兹斯柱德于1916年找到的，就在爱因斯坦发表其理论几个月之后。施瓦兹斯柱德解描述了球对称质量（如非旋转的恒星或黑洞）外部的时空几何。施瓦兹斯柱德解的度规为：

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

$$M$$是中心物体的质量，$$(r,\theta,\phi)$$是球坐标。Schwarzschild解具有几个显著特点：

• 当$$r=2M$$时，度量看起来变得奇异。这个半径称为Schwarzschild半径或事件视界，就是逃逸速度等于光速的地方。如果质量在这个半径内压缩，就形成了一个黑洞。
• 对于$$r<2M$$，$$r$$和$$t$$的作用互换了。向更小的$$r$$移动就像向前移动时间一样，这意味着一旦进入事件视界，就无法避免到达$$r=0$$的中心奇异点。
• Schwarzschild解预测了黑洞的存在，这是广义相对论最奇特和最吸引人的预测之一。

另一个重要的解是Kerr度规，由Roy Kerr于1963年发现。Kerr解描述了旋转黑洞周围的时空。它比Schwarzschild度规复杂得多，但也具有一些类似的特点，如事件视界和中心奇异点。Kerr解还预测了“能区”，这是事件视界之外的一个区域，时空随着黑洞的旋转而被拖动，这种效应称为框拖。

在宇宙尺度上，爱因斯坦方程的最重要解是Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker（FLRW）度规。这些度规描述了均匀且各向同性的宇宙，随着时间的推移而膨胀或收缩。FLRW度规以标度因子$$a(t)$$和曲率参数$$k$$为特征，后者可以是正值（闭合宇宙）、负值（开放宇宙）或零（平坦宇宙）。

FLRW度规导致Friedmann方程，它描述了标度因子$$a(t)$$的演化，以及宇宙中物质和能量的能量密度$$\rho$$和压力$$p$$：

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

这里，点表示时间导数，$$G$$是牛顿常数。Friedmann方程结合将$$\rho$$和$$p$$相关的状态方程，为宇宙学标准宇宙大爆炸模型提供了基础。该模型预测宇宙始于一个炽热而密集的状态，从那以后一直在膨胀和冷却。该模型在解释宇宙膨胀到宇宙微波背景辐射等各种宇宙观测方面取得了巨大成功。

然而，标准宇宙大爆炸模型也存在问题。该模型预测早期宇宙必须非常均匀，无法通过因果联系的区域具有几乎相同的特性，这就是所谓的视界问题。该模型还预测存在磁单极子，而这种磁单极子从未被观测到。这些问题以及其他问题导致了上世纪80年代宇宙膨胀理论的发展。

膨胀理论假设早期宇宙经历了一个指数级膨胀的阶段，这是由一个称为膨胀子的标量场的能量驱动的。这种快速膨胀将消除任何初始的不均匀性，解决了视界问题。它还会稀释任何磁单极子到不可观察的水平。膨胀理论作出了几个预测，如略微非平坦的宇宙和特定的原初密度涨落谱，这些预测已经通过对宇宙微波背景的观测得到确认。

宇宙学中的另一个重大发展是上世纪90年代发现暗能量。远离的超新星的观测表明，宇宙的膨胀正在加速，这与只考虑物质和辐射的标准宇宙大爆炸模型的预期相反。这种加速被归因于一种称为暗能量的神秘成分，它表现得像一个负压力，推动宇宙扩散。暗能量的最简单模型是宇宙常数，最初由爱因斯坦引入作为他方程的修正，以使其允许一个静态宇宙。宇宙常数等同于真空的能量，其方程状态为$$p=-\rho$$。

目前的宇宙学标准模型称为Lambda-CDM模型，包括暗能量以宇宙常数（$$\Lambda$$）的形式和冷暗物质（CDM），后者是一种只通过引力相互作用的物质形式，需要解释星系的形成和宇宙的大尺度结构。Lambda-CDM模型在拟合各种宇宙数据方面非常成功，但是暗物质和暗能量的物理本质仍然是物理学中最大的谜团之一。

结论

爱因斯坦的广义相对论提供了对重力作为时空曲率的优美而深刻的描述。Riemann几何学和张量微积分的数学形式主义使我们能够量化这种曲率及其与物质和能量的关系。爱因斯坦的场方程，即该理论的主方程，已在一些重要情况下求解，从而预测了黑洞和宇宙膨胀等现象。

将广义相对论应用于宇宙学导致了大爆炸模型的发展，该模型描述了宇宙从一个炽热而密集的初始状态到其当前膨胀阶段的演化。对暗物质和暗能量的发现要求对这一模型进行扩展，从而形成了当前的宇宙学标准模型，即Lambda-CDM模型。 尽管广义相对论取得了成功，但它并不能够完全解释引力。该理论在黑洞中心和宇宙初始阶段的量子效应变得重要的地方失效。将广义相对论与量子力学统一起来仍然是理论物理学面临的重大挑战之一。弦理论和环量子引力等作为引力的量子理论的候选者正在积极研究中。

此外，暗物质和暗能量之谜表明我们对于引力和宇宙内容的理解还远未完整。从引力波探测器到卫星任务研究宇宙背景辐射的持续和未来观测，将为这些谜题带来新的启示，并在越来越极端的条件下测试广义相对论。