Kapitel 5: Von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie

In den vorherigen Kapiteln haben wir gesehen, wie die spezielle Relativitätstheorie unser Verständnis von Raum und Zeit revolutioniert hat. Die Lorentz-Transformationen haben gezeigt, dass räumliche und zeitliche Intervalle nicht absolut sind, sondern von der relativen Bewegung zwischen Bezugssystemen abhängen. Bizarre Effekte wie Längenkontraktion, Zeitdilatation und die Relativität der Gleichzeitigkeit wurden als Konsequenzen der Vereinigung von Raum und Zeit in einem vierdimensionalen Minkowski-Raumzeit-Kontinuum aufgezeigt.

Allerdings ist die spezielle Theorie in ihrem Anwendungsbereich begrenzt. Sie gilt nur für trägheitsbezogene Bezugssysteme - solche, die sich mit konstanter Geschwindigkeit zueinander bewegen. Sie sagt nichts über Beschleunigung oder Gravitation aus. Um diese Einschränkungen anzugehen, entwickelte Einstein die allgemeine Relativitätstheorie, eine der tiefgründigsten und schönsten wissenschaftlichen Theorien, die je konzipiert wurden.

In diesem Kapitel werden wir den Weg von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie nachverfolgen. Wir werden sehen, wie das Äquivalenzprinzip, die Idee, dass Beschleunigung und Gravitation nicht zu unterscheiden sind, zu einer geometrischen Theorie der Gravitation führt, bei der die Krümmung der Raumzeit die newtonsche Gravitationskraft ersetzt. Wir werden untersuchen, wie Gezeitenkräfte in der Krümmung der Raumzeit manifestiert sind. Diese Reise wird uns an den äußersten Rand unseres aktuellen Verständnisses von Raum, Zeit und Gravitation führen.

Das Äquivalenzprinzip

Die Schlüsselerkenntnis, die Einstein von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie führte, war das Äquivalenzprinzip. In seiner einfachsten Form besagt das Äquivalenzprinzip, dass die Auswirkungen der Gravitation nicht von den Auswirkungen der Beschleunigung zu unterscheiden sind.

Stellen Sie sich vor, Sie sind in einem Aufzug ohne Fenster. Wenn sich der Aufzug auf der Erde im Ruhezustand befindet, spüren Sie Ihr normales Gewicht, das Sie in den Boden drückt, eine Kraft, die wir normalerweise der Schwerkraft zuschreiben. Stellen Sie sich nun vor, der Aufzug befindet sich im Weltraum weit entfernt von Planeten oder Sternen, beschleunigt jedoch "nach oben" mit einer Beschleunigung, die g entspricht, der Erdbeschleunigung (ca. 9,8 m/s^2). Sie würden die gleiche Kraft spüren, die Sie in den Boden drückt, wie wenn der Aufzug auf der Erde im Ruhezustand wäre.

Umgekehrt, wenn der Aufzug im freien Fall auf die Erde zusteuern würde, würden Sie gewichtslos sein, genauso wie Astronauten in der Umlaufbahn, obwohl dort eine erhebliche Gravitationsfeldstärke herrscht. Das Äquivalenzprinzip besagt, dass diese Situationen grundsätzlich nicht zu unterscheiden sind. Kein lokales Experiment kann zwischen dem Ruhen in einem Gravitationsfeld und der Beschleunigung in Abwesenheit eines Gravitationsfeldes unterscheiden.

Dieses Prinzip war bereits in den Arbeiten von Galileo und Newton implizit vorhanden, aber es war Einstein, der seine volle Bedeutung erkannte. Wenn Gravitation und Beschleunigung äquivalent sind, dann muss Gravitation alles beeinflussen, auch Licht. Diese Erkenntnis war der erste Schritt hin zu einer geometrischen Gravitationstheorie.

Um zu sehen, wie das Äquivalenzprinzip impliziert, dass Gravitation Licht beeinflusst, betrachten Sie einen Lichtstrahl, der horizontal in einen beschleunigenden Aufzug eintritt. Von innen würde ein Beobachter sehen, wie der Strahl nach unten gebogen wird, während der Aufzug um ihn herum nach oben beschleunigt. Aber gemäß dem Äquivalenzprinzip ist diese Situation nicht von einem stationären Aufzug in einem Gravitationsfeld zu unterscheiden. Daher muss sich auch ein Lichtstrahl in einem Gravitationsfeld nach unten biegen.

Dies war eine überraschende Schlussfolgerung. In der newtonschen Physik und sogar in der speziellen Relativitätstheorie wurde angenommen, dass Gravitation eine Kraft zwischen massereichen Objekten ist. Aber Licht war als masselos bekannt, also wie könnte es von Gravitation beeinflusst werden? Die Antwort, wie wir sehen werden, ist, dass Gravitation überhaupt keine Kraft ist, sondern eine Krümmung der Raumzeit selbst.

Schwerkraft als Krümmung der Raumzeit

Das Äquivalenzprinzip führt uns zu einer radikal neuen Sichtweise der Schwerkraft. Anstatt eine Kraft in der flachen Minkowski-Raumzeit zu sein, ist die Schwerkraft die Manifestation einer gekrümmten Raumzeit. Mit den Worten von John Wheeler: "Der Raum sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll. Die Materie sagt dem Raum, wie er sich krümmen soll."

Um dies zu verstehen, betrachten wir die Bewegung von Objekten in Abwesenheit von Gravitation. In der speziellen Relativitätstheorie folgen freie Objekte (die keiner Kraft ausgesetzt sind) geraden Linien in der vierdimensionalen Minkowski-Raumzeit. Diese Pfade werden Geodäten genannt. Sie sind die "geradesten möglichen" Linien im Raumzeit-Kontinuum, den Pfaden, denen parallel transportierte Vektoren folgen.

Gemäß dem Äquivalenzprinzip entspricht der Pfad eines frei fallenden Objekts dem Pfad eines trägheitsbezogenen Objekts in Abwesenheit von Gravitation. Deshalb müssen frei fallende Objekte Geodäten in der Raumzeit folgen. Aber wir wissen aus Erfahrung, dass die Pfade fallender Objekte in Raum und Zeit gekrümmt sind (denken Sie an den parabolischen Bogen eines geworfenen Balls). Die einzige Möglichkeit, diese Tatsachen in Einklang zu bringen, besteht darin, dass die Raumzeit selbst gekrümmt ist.

Nach dieser Ansicht ist die "Kraft" der Schwerkraft eine Illusion. Objekte werden nicht von der Schwerkraft "angezogen". Stattdessen folgen sie einfach den geradesten möglichen Pfaden in einer gekrümmten Raumzeit. Der klassische Vergleich ist eine Kugel auf einer gespannten Gummifolie. Wenn Sie ein schweres Objekt auf die Folie legen, entsteht eine Vertiefung. Wenn Sie dann eine kleine Kugel in der Nähe rollen lassen, folgt sie einem gekrümmten Pfad um die Vertiefung herum, nicht weil sie zum schweren Objekt "angezogen" wird, sondern weil sie den Konturen der gekrümmten Folie folgt.

Mathematisch wird die Krümmung der Raumzeit durch den metrischen Tensor beschrieben, eine Verallgemeinerung der metrischen Tensor der speziellen Relativitätstheorie. Der metrische Tensor kodiert die Geometrie der Raumzeit, er bestimmt die Abstände zwischen Punkten und die Winkel zwischen Vektoren. In der flachen Minkowski-Raumzeit ist der metrische Tensor einfach und konstant. Aber in Anwesenheit von Materie und Energie wird der metrische Tensor gekrümmt und dynamisch. Die Einstein'schen Feldgleichungen beschreiben den Zusammenhang zwischen der Krümmung der Raumzeit (ausgedrückt durch die Metrik) und der Verteilung von Materie und Energie (ausgedrückt durch den Energie-Impuls-Tensor). Es handelt sich um ein System von 10 gekoppelten, nichtlinearen partiellen Differentialgleichungen, die allgemein sehr schwer zu lösen sind. Dennoch haben sie eine bedeutende physikalische Bedeutung: Materie und Energie sagen der Raumzeit, wie sie sich krümmen soll, und die Krümmung der Raumzeit sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll.

Die Feldgleichungen ersetzen das newtonsche Gravitationsgesetz. Anstatt einer sofortigen Fernwirkung durch die Gravitationskraft haben wir das dynamische Zusammenspiel von Raumzeit-Geometrie und dem Materie-/Energieinhalt des Universums. Gravitation ist keine durch Raumzeit übertragene Kraft, sondern in das Gewebe der Raumzeit selbst verwoben.

Gezeitenkräfte und Raumzeitkrümmung

Eine der wichtigsten Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie ist das Vorhandensein von Gezeitenkräften. Diese verursachen die Gezeiten auf der Erde, haben jedoch eine sehr unterschiedliche Ursache in der Newtonschen Gravitation und in der allgemeinen Relativitätstheorie.

In der newtonschen Physik entstehen Gezeitenkräfte aufgrund der Variation der Gravitationskraft mit dem Abstand. Die Seite der Erde, die dem Mond zugewandt ist, erfährt eine etwas stärkere Anziehungskraft als das Zentrum der Erde, das wiederum eine stärkere Anziehungskraft erfährt als die Seite, die vom Mond abgewandt ist. Diese Unterschiede in der Stärke der Gravitation über ein ausgedehntes Objekt hinweg verursachen die Gezeitenkräfte.

In der allgemeinen Relativitätstheorie haben Gezeitenkräfte jedoch eine ganz andere Interpretation. Sie werden nicht durch Unterschiede in der Stärke eines Gravitationsfeldes verursacht, sondern durch die Krümmung der Raumzeit selbst.

Betrachten wir zwei frei fallende Objekte, die anfangs in Ruhe zueinander sind. In der newtonschen Physik blieben sie in Ruhe, da sie beide die gleiche Gravitationsbeschleunigung erfahren. In der allgemeinen Relativitätstheorie konvergieren oder divergieren jedoch die Geodäten, denen die Objekte folgen, wenn die Raumzeit gekrümmt ist. Die Objekte beschleunigen relativ zueinander, nicht aufgrund eines Unterschieds in der "Stärke" der Gravitation, sondern aufgrund der Geometrie der Raumzeit, in die sie fallen.

Diese relative Beschleunigung benachbarter Geodäten ist die wahre Manifestation von Gezeitenkräften in der allgemeinen Relativitätstheorie. Sie ist eine direkte Folge der Raumzeitkrümmung. Je größer die Krümmung, desto stärker sind die Gezeitenkräfte.

Dieses Verständnis von Gezeitenkräften bietet einen Weg, die Krümmung der Raumzeit nachzuweisen und zu messen. Das Gravity Probe B-Experiment verwendete zum Beispiel vier ultrapräzise Kreisel in der Erdumlaufbahn, um die winzige Raumzeitkrümmung durch die Masse der Erde zu messen. Es stellte sich heraus, dass die Kreisel, die anfangs alle in die gleiche Richtung zeigten, im Laufe der Zeit gegeneinander zu präzedieren begannen - eine direkte Messung der Raumzeitkrümmung der Erde.

Gezeitenkräfte spielen auch eine entscheidende Rolle in extremen gravitativen Umgebungen wie Schwarzen Löchern. Wenn ein Objekt auf ein Schwarzes Loch zu fällt, werden die Gezeitenkräfte immens. Wenn das Objekt ausgedehnt ist, wie ein Mensch, kann der Unterschied in der Krümmung der Raumzeit zwischen Kopf und Füßen so groß werden, dass er in die Länge gezogen und auseinandergezogen würde, ein Prozess, der anschaulich als "Spaghettifizierung" bezeichnet wird.

Das Äquivalenzprinzip, die Interpretation der Gravitation als Raumzeitkrümmung und die Manifestation von Gezeitenkräften sind in der allgemeinen Relativitätstheorie eng miteinander verbunden. Sie stellen eine tiefgreifende Verschiebung von der newtonschen Vorstellung von Gravitation als einer instantan wirkenden Kraft zwischen massiven Objekten hin zu einer geometrischen Vorstellung dar, bei der das dynamische Zusammenspiel von Materie und Raumzeitgeometrie die Schwerkraft erzeugt, die wir erfahren.

Experimentelle Tests der allgemeinen Relativitätstheorie

Die allgemeine Relativitätstheorie macht eine Reihe von Vorhersagen, die sich von der Newtonschen Gravitation unterscheiden. Dazu gehören:

1. Die Periheldrehung der Umlaufbahn des Merkur
2. Die Ablenkung von Sternenlicht durch die Sonne
3. Der gravitative Rotverschiebung des Lichts
4. Die gravitative Zeitdilatation
5. Die Existenz von Gravitationswellen

Jede dieser Vorhersagen wurde experimentell mit hoher Präzision bestätigt und liefert starke Unterstützung für die Theorie.

Die Periheldrehung der Umlaufbahn des Merkur (der Punkt, an dem er der Sonne am nächsten ist) wurde bereits beobachtet, dass sie sich um einen kleinen Betrag dreht, der nicht vollständig durch die newtonsche Gravitation und die Störungen der anderen Planeten erklärt werden konnte. Die allgemeine Relativitätstheorie sagte präzise die beobachtete Drehungsgeschwindigkeit vorher, was einen bedeutenden frühen Erfolg für die Theorie darstellte.

Die Ablenkung von Sternenlicht durch die Sonne wurde erstmals während der totalen Sonnenfinsternis von 1919 beobachtet. Sterne in der Nähe der Sonne schienen leicht außer Position zu sein, was darauf hindeutet, dass ihr Licht durch das Gravitationsfeld der Sonne gekrümmt wurde - genau in dem Ausmaß, das von der allgemeinen Relativitätstheorie vorhergesagt wurde. Dies war eine eindrucksvolle Bestätigung der Theorie und brachte Einstein weltweiten Ruhm ein.

Die gravitative Rotverschiebung, die Dehnung der Wellenlänge von Licht, wenn es aus einem Gravitationsbrunnen heraussteigt, wurde erstmals im Pound-Rebka-Experiment mit Gammastrahlen in einem Turm an der Harvard-Universität gemessen. Die beobachtete Rotverschiebung stimmte mit den Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie überein - mit einer Genauigkeit von bis zu 1%.

Die gravitative Zeitdilatation, die Verlangsamung der Zeit in Anwesenheit eines Gravitationsfeldes, wurde mit Atomuhren in Flugzeugen und Satelliten gemessen. Das Global Positioning System (GPS) muss diesen Effekt korrigieren, um seine Genauigkeit zu erreichen. Auch diese Messungen stimmen wieder mit den Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie mit hoher Präzision überein.

Vielleicht die spektakulärste Bestätigung der allgemeinen Relativitätstheorie kam im Jahr 2015 mit der ersten direkten Detektion von Gravitationswellen durch das Laser Interferometer Gravitational-Wave Observatory (LIGO). Gravitationswellen sind Wellenkrümmungen im Gewebe der Raumzeit, die von Einsteins Theorie vorhergesagt wurden. LIGO beobachtete die Gravitationswellen aus der Verschmelzung zweier Schwarzer Löcher - genau 100 Jahre, nachdem Einstein erstmals die Existenz von Gravitationswellen vorhergesagt hatte. Die beobachteten Wellenformen stimmen mit erstaunlicher Präzision mit den Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie überein. Bisher hat die allgemeine Relativitätstheorie alle experimentellen Tests mit Bravour bestanden. Sie hat Phänomene von der Skala des Sonnensystems bis zur Skala des Universums richtig vorhergesagt, von der Bewegung der Planeten bis zur Verschmelzung von Schwarzen Löchern. Es ist eine der erfolgreichsten wissenschaftlichen Theorien, die je entwickelt wurden.

Schlussfolgerung

Der Weg von der speziellen zur allgemeinen Relativitätstheorie wurde vom Äquivalenzprinzip geleitet, der Erkenntnis, dass Gravitation und Beschleunigung nicht unterscheidbar sind. Dies führte Einstein dazu, Gravitation nicht als Kraft in flachem Raum-Zeit-Kontinuum zu betrachten, sondern als Krümmung des Raum-Zeit-Gefüges an sich.

In dieser geometrischen Sichtweise sagen Materie und Energie dem Raum-Zeit-Gefüge, wie es sich krümmen soll, und die Krümmung des Raum-Zeit-Gefüges sagt der Materie, wie sie sich bewegen soll. Gezeitenkräfte entstehen nicht durch Unterschiede in der Stärke der Schwerkraft, sondern sind eine Manifestation der Krümmung des Raum-Zeit-Gefüges.

Die Vorhersagen der allgemeinen Relativitätstheorie, von der Präzession der Merkur-Umlaufbahn bis zur Existenz von Gravitationswellen, wurden durch jeden bisherigen experimentellen Test bestätigt. Die Theorie hat unser Verständnis von Raum, Zeit und Gravitation revolutioniert und ist weiterhin führend in der Forschung in Physik und Kosmologie.

Während wir voranschreiten, wird uns die allgemeine Relativitätstheorie weiterhin bei der Erforschung des Universums in Bereichen wie der Verkrümmung des Raum-Zeit-Gefüges um Schwarze Löcher oder der Expansion des Universums insgesamt leiten. Es ist eine tiefgreifende und wunderschöne Theorie, die unser Verständnis des Kosmos neu geformt hat.