Làm thế nào để Thuật toán hoạt động
Chapter 9 Algorithm Design Paradigms Divide and Conquer

Chương 9: Các Phương Pháp Thiết Kế Thuật Toán

Trong các chương trước, chúng ta đã khám phá nhiều loại thuật toán khác nhau để giải quyết các vấn đề cụ thể, như sắp xếp, tìm kiếm, duyệt đồ thị và xử lý chuỗi. Mặc dù các thuật toán này khác nhau về ứng dụng và cách thực hiện, nhiều trong số chúng chia sẻ các nguyên tắc thiết kế cơ bản hoặc các phương pháp chung.

Trong chương này, chúng ta sẽ xem xét ba phương pháp thiết kế thuật toán cơ bản: chia để trị, thuật toán tham lam và lập trình động. Những phương pháp này cung cấp các cách tiếp cận chung để giải quyết vấn đề, có thể được điều chỉnh để giải quyết nhiều loại vấn đề khác nhau. Bằng cách hiểu rõ những phương pháp này, chúng ta có thể hiểu sâu hơn về cấu trúc của các thuật toán và phát triển các thuật toán mới cho các vấn đề mà chúng ta gặp phải.

Chia để trị

Phương pháp chia để trị là một cách tiếp cận mạnh mẽ và được sử dụng rộng rãi để thiết kế các thuật toán hiệu quả. Ý tưởng cơ bản là chia một vấn đề thành các tiểu vấn đề nhỏ hơn, giải quyết các tiểu vấn đề này một cách đệ quy, và sau đó kết hợp các giải pháp của chúng để giải quyết vấn đề ban đầu.

Một thuật toán chia để trị điển hình bao gồm ba bước:

  1. Chia: Nếu vấn đề đủ nhỏ để giải quyết trực tiếp, hãy giải quyết nó. Nếu không, hãy chia vấn đề thành các tiểu vấn đề nhỏ hơn.
  2. Chinh phục: Giải quyết mỗi tiểu vấn đề một cách đệ quy.
  3. Kết hợp: Kết hợp các giải pháp của các tiểu vấn đề để thu được giải pháp cho vấn đề ban đầu.

Hiệu quả của các thuật toán chia để trị đến từ khả năng giảm kích thước của một vấn đề theo một hệ số không đổi ở mỗi bước đệ quy. Điều này thường dẫn đến các thuật toán có thời gian chạy logarit hoặc đa logarit.

Mergesort: Một Thuật Toán Chia Để Trị Kinh Điển

Một trong những ví dụ nổi tiếng nhất về một thuật toán chia để trị là mergesort, mà chúng ta đã nghiên cứu kỹ trong Chương 2. Hãy nhớ rằng mergesort sắp xếp một mảng bằng cách chia nó thành hai nửa, sắp xếp mỗi nửa một cách đệ quy, và sau đó trộn các nửa đã được sắp xếp.

Dưới đây là mô tả ở mức cao về quá trình mergesort:Dưới đây là bản dịch tiếng Việt của tệp Markdown này:

Thuật toán Mergesort:

function mergesort(array):
    # Nếu mảng chỉ có 1 phần tử hoặc ít hơn, trả về mảng đó
    if array.length <= 1:
        return array
    else:
        # Chia mảng thành 2 nửa
        mid = array.length / 2
        left = mergesort(array[0:mid])
        right = mergesort(array[mid:])
        # Gộp 2 nửa đã sắp xếp thành 1 mảng sắp xếp
        return merge(left, right)

Hàm merge kết hợp 2 mảng đã sắp xếp thành 1 mảng sắp xếp duy nhất:

function merge(left, right):
    # Tạo mảng kết quả
    result = []
    # Lặp cho đến khi 1 trong 2 mảng trống
    while left is not empty and right is not empty:
        # So sánh phần tử đầu tiên của 2 mảng, thêm phần tử nhỏ hơn vào mảng kết quả
        if left[0] <= right[0]:
            append left[0] to result
            remove left[0] from left
        else:
            append right[0] to result
            remove right[0] from right
    # Thêm các phần tử còn lại của 2 mảng vào mảng kết quả
    append remaining elements of left to result
    append remaining elements of right to result
    return result

Chiến lược chia để trị cho phép Mergesort đạt được thời gian chạy tệ nhất là O(n log n), khiến nó trở thành một trong những thuật toán sắp xếp hiệu quả nhất dành cho mục đích chung.

Định lý Chủ

Thời gian chạy của nhiều thuật toán chia để trị có thể được phân tích bằng cách sử dụng Định lý Chủ, cung cấp một công thức chung cho các phương trình đệ quy dạng:

T(n) = aT(n/b) + f(n)

Ở đây, a là số lượng lời gọi đệ quy, n/b là kích thước của mỗi bài toán con, và f(n) là chi phí chia bài toán và kết hợp kết quả.

Định lý Chủ nói rằng lời giải cho phương trình đệ quy này là:

  1. Nếu f(n) = O(n^(log_b(a) - ε)) với một hằng số ε > 0, thì T(n) = Θ(n^log_b(a)).
  2. Nếu f(n) = Θ(n^log_b(a)), thì T(n) = Θ(n^log_b(a) * log n).
  3. Nếu f(n) = Ω(n^(log_b(a) + ε)) với một hằng số ε > 0, và nếu af(n/b) ≤ cf(n) với một hằng số c < 1 và tất cả n đủ lớn, thì T(n) = Θ(f(n)).

Đối với Mergesort, chúng ta có a = 2 (2 lời gọi đệ quy), b = 2 (mỗi bài toán con có kích thước một nửa), và f(n) = Θ(n) (bước gộp mất thời gian tuyến tính). Vì log_2(2) = 1, chúng ta ở trường hợp 2 của Định lý Chủ, và thời gian chạy là Θ(n log n).

Các Thuật Toán Chia Để Trị Khác

Nhiều thuật toán chia để trị khác...Dưới đây là bản dịch tiếng Việt của tệp Markdown:

Các thuật toán có thể được thiết kế bằng cách sử dụng phương pháp chia và chinh phục. Một số ví dụ đáng chú ý bao gồm:

  • Quicksort: Giống như mergesort, quicksort là một thuật toán sắp xếp chia và chinh phục. Nó phân chia mảng xung quanh một phần tử trục, sắp xếp đệ quy các mảng con bên trái và bên phải của trục, và nối kết các kết quả.

  • Tìm kiếm nhị phân: Thuật toán tìm kiếm nhị phân để tìm một phần tử trong một mảng đã được sắp xếp có thể được xem là một thuật toán chia và chinh phục. Nó so sánh giá trị mục tiêu với phần tử ở giữa của mảng và tìm kiếm đệ quy nửa bên trái hoặc nửa bên phải, tùy thuộc vào kết quả so sánh.

  • Nhân Karatsuba: Đây là một thuật toán chia và chinh phục để nhân hai số n-chữ số trong O(n^log_2(3)) ≈ O(n^1.585) thời gian, nhanh hơn so với thuật toán truyền thống O(n^2).

  • Nhân ma trận của Strassen: Thuật toán của Strassen nhân hai ma trận n × n trong O(n^log_2(7)) ≈ O(n^2.807) thời gian, cải thiện so với thuật toán ngây thơ O(n^3).

Những ví dụ này cho thấy tính linh hoạt và sức mạnh của phương pháp chia và chinh phục trong thiết kế các thuật toán hiệu quả.

Thuật toán Tham lam

Các thuật toán tham lam là một lớp các thuật toán đưa ra lựa chọn tối ưu cục bộ tại mỗi bước với hy vọng tìm được giải pháp tối ưu toàn cục. Chúng thường được sử dụng cho các bài toán tối ưu hóa, nơi một giải pháp được xây dựng dần dần bằng cách đưa ra một loạt các lựa chọn, mỗi lựa chọn đều là tốt nhất tại thời điểm đó.

Các đặc điểm chính của các thuật toán tham lam là:

  1. Chúng đưa ra lựa chọn tối ưu cục bộ tại mỗi bước, không quan tâm đến hậu quả trong tương lai.
  2. Chúng giả định rằng một lựa chọn tối ưu cục bộ sẽ dẫn đến một giải pháp tối ưu toàn cục.
  3. Chúng không bao giờ xem xét lại các lựa chọn trước đó.

Các thuật toán tham lam thường dễ hiểu và thực hiện, và chúng có thể rất hiệu quả. Tuy nhiên, chúng không phải lúc nào cũng tạo ra giải pháp tối ưu, vì các lựa chọn tối ưu cục bộ có thể không dẫn đến giải pháp tối ưu toàn cục.

Mã Huffman: Một Thuật toán Tham lam cho Nén Dữ liệu

Mã HuffmanMã hóa Huffman, mà chúng ta đã gặp trong Chương 5, là một thuật toán tham lam để xây dựng một mã không tiền tố tối ưu để nén dữ liệu. Thuật toán này xây dựng một cây nhị phân từ dưới lên, gán các chuỗi bit ngắn hơn cho các ký tự xuất hiện thường xuyên hơn.

Dưới đây là mô tả cấp cao về thuật toán mã hóa Huffman:

  1. Tạo một nút lá cho mỗi ký tự và thêm nó vào hàng đợi ưu tiên.
  2. Trong khi vẫn còn nhiều hơn một nút trong hàng đợi:
    • Loại bỏ hai nút có tần suất thấp nhất khỏi hàng đợi.
    • Tạo một nút nội bộ mới với hai nút này làm con và tần suất bằng tổng tần suất của hai nút.
    • Thêm nút mới vào hàng đợi ưu tiên.
  3. Nút còn lại là nút gốc, và cây đã hoàn thành.

Lựa chọn tham lam là luôn hợp nhất hai nút có tần suất thấp nhất. Lựa chọn tối ưu cục bộ này dẫn đến một mã không tiền tố tối ưu toàn cầu.

Dưới đây là một ví dụ về mã hóa Huffman:

Giả sử chúng ta có các tần suất ký tự sau:

d: 1
e: 1

Đây là cây Huffman cho ví dụ này:

      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

Các mã Huffman kết quả là:

A: 00
B: 01
C: 10
D: 110
E: 111

Vì vậy, chuỗi gốc "AAAABBBCCCDDDEEE" sẽ được mã hóa thành:

00000000010101101010110110110111111111

Mã hóa Huffman đạt được nén bằng cách gán mã ngắn hơn cho các ký tự xuất hiện thường xuyên hơn. Các mã là không tiền tố, có nghĩa là không mã nào là tiền tố của mã khác, cho phép giải mã không mơ hồ.

Nén LZW

Nén Lempel-Ziv-Welch (LZW) là một thuật toán nén dựa trên từ điển, xây dựng một từ điển (hoặc sổ mã) của các chuỗi trong khi nén đầu vào. LZW được sử dụng rộng rãi trong các tiện ích nén tệp và được sử dụng trong định dạng ảnh GIF.

Ý tưởng chính của LZW là thay thế các chuỗi ký tự bằng các mã đơn. Nó đọc chuỗi đầu vào ký tự theo ký tự và mã hóa chuỗi thành một biểu diễn gọn gàng bằng cách thay thế mỗi chuỗi cố định bằng một mã.Đây là bản dịch tiếng Việt của tệp Markdown này. Đối với mã, không dịch mã, chỉ dịch các bình luận.

Nén LZW với mã có độ dài biến. Càng dài chuỗi, càng tiết kiệm được không gian bằng cách mã hóa nó thành một số duy nhất.

Dưới đây là mô tả từng bước về cách hoạt động của nén LZW:

  1. Khởi tạo từ điển để chứa tất cả các chuỗi ký tự đơn.
  2. Tìm chuỗi dài nhất W trong từ điển khớp với đầu vào hiện tại.
  3. Phát ra chỉ số từ điển cho W vào đầu ra và xóa W khỏi đầu vào.
  4. Thêm W theo sau ký tự tiếp theo trong đầu vào vào từ điển.
  5. Quay lại Bước 2.

Hãy xem xét một ví dụ. Giả sử chúng ta muốn nén chuỗi "ABABABABA" bằng LZW.

  1. Khởi tạo từ điển chứa "A" và "B".
  2. Khớp dài nhất là "A". Phát ra chỉ số của nó (0) và xóa nó khỏi đầu vào. Từ điển bây giờ chứa "A", "B" và "AB".
  3. Khớp dài nhất là "B". Phát ra chỉ số của nó (1) và xóa nó khỏi đầu vào. Từ điển bây giờ chứa "A", "B", "AB" và "BA".
  4. Khớp dài nhất là "AB". Phát ra chỉ số của nó (2) và xóa nó khỏi đầu vào. Từ điển bây giờ chứa "A", "B", "AB", "BA" và "ABA".
  5. Khớp dài nhất là "ABA". Phát ra chỉ số của nó (4) và xóa nó khỏi đầu vào. Từ điển bây giờ chứa "A", "B", "AB", "BA", "ABA" và "ABAB".
  6. Khớp dài nhất là "BA". Phát ra chỉ số của nó (3). Đầu vào bây giờ đã trống.

Biểu diễn nén của "ABABABABA" là chuỗi các chỉ số [1], yêu cầu ít bit hơn để biểu diễn so với biểu diễn ASCII gốc.

Giải nén hoạt động tương tự, nhưng theo chiều ngược lại:

  1. Khởi tạo từ điển để chứa tất cả các chuỗi ký tự đơn.
  2. Đọc một mã X từ đầu vào.
  3. Xuất chuỗi cho X từ từ điển.
  4. Nếu mã trước đó tồn tại, thêm chuỗi trước đó được nối với ký tự đầu tiên của chuỗi cho X vào từ điển.
  5. Quay lại Bước 2.

Nén LZW đơn giản và nhanh, khiến nó trở thành một lựa chọn tốt cho nhiều ứng dụng. Tuy nhiên, nó cũng có một số hạn chế. Kích thước của từ điển có thể tăng lên rất lớn, tiêu tốn một lượng bộ nhớ đáng kể. Ngoài ra,Dưới đây là bản dịch tiếng Việt của tệp Markdown:

từ điển được đặt lại sau mỗi khối đầu vào, điều này có thể làm giảm tỷ lệ nén cho các tệp nhỏ.

Mặc dù có những hạn chế này, LZW vẫn là một thuật toán nén phổ biến và hiệu quả, đặc biệt là cho các ứng dụng nơi tốc độ quan trọng hơn việc đạt được tỷ lệ nén cao nhất có thể.

Kết luận

Trong chương này, chúng ta đã khám phá một số thuật toán xử lý chuỗi quan trọng, bao gồm sắp xếp chuỗi, cây trie, tìm kiếm chuỗi con, biểu thức chính quy và nén dữ liệu. Những thuật toán này tạo nền tảng cho nhiều ứng dụng thực tế và là công cụ thiết yếu cho bất kỳ lập trình viên nào làm việc với dữ liệu văn bản.

Chúng tôi bắt đầu bằng việc thảo luận về sắp xếp chuỗi, là những thuật toán sắp xếp được tối ưu hóa để tận dụng các đặc tính đặc biệt của chuỗi. Đếm theo khóa, sắp xếp theo cơ số thấp nhất (LSD) và sắp xếp theo cơ số cao nhất (MSD) cung cấp các phương pháp hiệu quả để sắp xếp chuỗi dựa trên các ký tự riêng lẻ của chúng.

Tiếp theo, chúng tôi đã xem xét cây trie, một cấu trúc dữ liệu dạng cây để lưu trữ và truy xuất chuỗi. Cây trie cho phép khớp tiền tố nhanh chóng và thường được sử dụng trong các ứng dụng như hoàn thành tự động và bảng định tuyến IP.

Các thuật toán tìm kiếm chuỗi con, như thuật toán Knuth-Morris-Pratt và Boyer-Moore, cho phép chúng ta tìm kiếm hiệu quả các mẫu trong các chuỗi lớn hơn. Những thuật toán này có nhiều ứng dụng trong chỉnh sửa văn bản, sinh học tính toán và thu thập thông tin.

Biểu thức chính quy cung cấp một cách mạnh mẽ và linh hoạt để mô tả các mẫu chuỗi. Chúng tôi đã thảo luận về cú pháp cơ bản của biểu thức chính quy và cách chúng có thể được sử dụng để khớp mẫu và thao tác chuỗi trong các ngôn ngữ và công cụ lập trình khác nhau.

Cuối cùng, chúng tôi đã khám phá các thuật toán nén dữ liệu, giúp giảm kích thước dữ liệu bằng cách khai thác sự d冀 thừa và các mẫu trong đầu vào. Chúng tôi đề cập đến mã hóa chiều dài chuỗi, mã Huffman và nén Lempel-Ziv-Welch, mỗi cái đều có những điểm mạnh và ứng dụng riêng của nó.

Hiểu biết về những thuật toán và cấu trúc dữ liệu xử lý chuỗi này là rất quan trọng đối với bất kỳ ai làm việc với dữ liệu văn bản.Here is the Vietnamese translation of the provided markdown file, with the code comments translated:

Làm việc với dữ liệu văn bản

Khi lượng dữ liệu không cấu trúc tiếp tục tăng lên, khả năng thao tác, tìm kiếm và nén chuỗi một cách hiệu quả sẽ càng trở nên có giá trị hơn. Bằng cách nắm vững các kỹ thuật được đề cập trong chương này, bạn sẽ được trang bị tốt để giải quyết một loạt các thách thức xử lý chuỗi trong các dự án và ứng dụng của riêng mình.

# Tạo một chuỗi
my_string = "Hello, World!"
 
# In chuỗi
print(my_string)
 
# Truy cập các ký tự trong chuỗi
print(my_string[0])  # Truy cập ký tự đầu tiên
print(my_string[-1])  # Truy cập ký tự cuối cùng
 
# Cắt chuỗi
substring = my_string[7:12]
print(substring)
 
# Nối chuỗi
greeting = "Hello"
name = "Alice"
message = greeting + ", " + name + "!"
print(message)
 
# Tìm kiếm trong chuỗi
if "World" in my_string:
    print("'World' được tìm thấy trong chuỗi")
else:
    print("'World' không được tìm thấy trong chuỗi")
 
# Thay thế trong chuỗi
new_string = my_string.replace("World", "Python")
print(new_string)
 
# Tách chuỗi thành danh sách
words = message.split(", ")
print(words)
 
# Định dạng chuỗi
name = "Alice"
age = 25
print(f"{name} is {age} years old.")
Chapter 8 Algorithm Analysis TechniquesChapter 10 Intractable Problems and Approximation Algorithms