Capítulo 6: Espaçotempo Curvo

Nos capítulos anteriores, vimos como a teoria especial da relatividade revolucionou nossa compreensão do espaço e do tempo, unindo-os em um espaçotempo de quatro dimensões de Minkowski. Em seguida, vimos como o princípio da equivalência e as lições da relatividade especial levaram Einstein à sua teoria geral da relatividade, na qual a gravidade não é mais uma força, mas uma manifestação do espaçotempo curvo. Neste capítulo, vamos mergulhar mais fundo na descrição matemática do espaçotempo curvo fornecida pela geometria riemanniana e cálculo tensorial. Veremos como esse formalismo leva às equações de campo de Einstein, a equação mestra que governa a dinâmica da curvatura do espaçotempo. Por fim, exploraremos algumas das soluções-chave para essas equações, que nos fornecem modelos para entender fenômenos que vão de buracos negros à evolução do universo como um todo.

A Matemática do Espaçotempo Curvo

A ideia fundamental da teoria geral da relatividade de Einstein é que a gravidade não é uma força no sentido usual, mas sim uma manifestação da curvatura do espaçotempo. Na presença de matéria e energia, o espaçotempo se curva, e essa curvatura é o que experimentamos como gravidade. Para fornecer uma descrição matemática precisa do espaçotempo curvo, Einstein recorreu às ferramentas da geometria riemanniana e do cálculo tensorial, desenvolvidas no século XIX por matemáticos como Gauss, Riemann, Ricci e Levi-Civita.

Na geometria riemanniana, um espaço curvo é descrito por um tensor métrico, geralmente denotado como $g_{\mu\nu}$. A métrica codifica todas as informações sobre a geometria do espaço, permitindo-nos calcular distâncias, ângulos e volumes. Em um espaçotempo de quatro dimensões, a métrica é uma matriz 4x4, com índices $\mu$ e $\nu$ variando de 0 a 3 (sendo 0 geralmente reservado para a dimensão do tempo). A métrica é simétrica, o que significa que $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, então ela possui 10 componentes independentes.

A métrica nos permite calcular o intervalo do espaçotempo $ds$ entre dois eventos próximos, generalizando o intervalo de Minkowski da relatividade especial:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Aqui, $dx^\mu$ representa um deslocamento infinitesimal na coordenada $\mu$. É usada a convenção de soma de Einstein, o que significa que índices repetidos são somados.

A métrica também nos permite definir a noção de transporte paralelo, que é como comparamos vetores (e tensores) em diferentes pontos de um espaço curvo. No espaço plano, o transporte paralelo é trivial - um vetor mantém sua direção ao ser movido ao longo de um caminho. Mas em um espaço curvo, o transporte paralelo depende do caminho, levando a fenômenos como o efeito geodésico (a rotação de um vetor sendo transportado paralelamente ao longo de um caminho fechado).

A curvatura do espaçotempo é codificada no tensor de curvatura de Riemann $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, que é construído a partir da métrica e de suas derivadas. O tensor de Riemann mede a não comutatividade do transporte paralelo, ou seja, o quanto um vetor muda ao ser transportado paralelamente ao longo de dois caminhos diferentes. Se o tensor de Riemann for zero em todos os lugares, o espaço é plano (euclidiano ou minkowskiano). Componentes não nulas do tensor de Riemann indicam a presença de curvatura.

A partir do tensor de Riemann, podemos construir o tensor de Ricci $R_{\mu\nu}$ contraíndo (somando sobre) dois dos índices:

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

O tensor de Ricci, por sua vez, pode ser contraído para fornecer o escalar de Ricci $R$:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

O tensor de Ricci e o escalar de Ricci fornecem uma medida da curvatura local em cada ponto do espaçotempo.

Com essas ferramentas em mãos, agora podemos escrever as equações de campo de Einstein, a equação mestra da relatividade geral.

As Equações de Campo de Einstein

As equações de campo de Einstein fornecem uma descrição dinâmica de como a curvatura do espaçotempo está relacionada à presença de matéria e energia. As equações, em sua forma mais compacta, são escritas como:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Aqui, $G_{\mu\nu}$ é o tensor de Einstein, definido como:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

O tensor de Einstein codifica informações sobre a curvatura do espaçotempo. No lado direito, $T_{\mu\nu}$ é o tensor de estresse-energia, que descreve a densidade e o fluxo de energia e momento no espaçotempo. A constante $8\pi$ é escolhida para corresponder ao limite newtoniano da teoria.

O tensor de estresse-energia $T_{\mu\nu}$ é um tensor simétrico 4x4, com componentes que têm interpretações físicas:

• $T_{00}$ representa a densidade de energia
• $T_{0i}$ e $T_{i0}$ representam a densidade de momento (fluxo de energia)
• $T_{ij}$ representa o estresse (pressão)

Para um fluido perfeito, o tensor de estresse-energia tem a forma:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

onde $\rho$ é a densidade de energia, $p$ é a pressão e $u^\mu$ é a quatro-velocidade do fluido.

As equações de campo de Einstein são um conjunto de 10 equações diferenciais parciais acopladas e não lineares para as componentes da métrica $g_{\mu\nu}$. As equações são conhecidas por serem difíceis de resolver em geral, exigindo técnicas matemáticas sofisticadas e muitas vezes métodos numéricos. No entanto, diversas soluções exatas foram encontradas, as quais têm fornecido insights profundos sobre a natureza da gravidade e a estrutura do universo.

Soluções das Equações de Einstein

A primeira solução exata das equações de Einstein foi encontrada por Karl Schwarzschild em 1916, apenas meses depois que Einstein publicou sua teoria. A solução de Schwarzschild descreve a geometria do espaçotempo fora de uma massa esfericamente simétrica, como uma estrela não-rotativa ou um buraco negro. A métrica para a solução de Schwarzschild é:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Aqui, $M$ é a massa do objeto central, e $(r,\theta,\phi)$ são as coordenadas esféricas. A solução de Schwarzschild tem várias características notáveis:

• Em $r=2M$, a métrica parece se tornar singular. Este raio, chamado raio de Schwarzschild ou horizonte de eventos, é onde a velocidade de escape iguala a velocidade da luz. Se a massa estiver comprimida dentro deste raio, forma-se um buraco negro.
• Para $r<2M$, os papéis de $r$ e $t$ são invertidos. Movendo-se para $r$ menor é como mover-se para frente no tempo, o que significa que uma vez dentro do horizonte de eventos, não é possível evitar alcançar a singularidade central em $r=0$.
• A solução de Schwarzschild prevê a existência de buracos negros, uma das previsões mais exóticas e fascinantes da relatividade geral.

Outra solução importante é a métrica de Kerr, encontrada por Roy Kerr em 1963. A solução de Kerr descreve o espaço-tempo ao redor de um buraco negro em rotação. É significativamente mais complexa do que a métrica de Schwarzschild, mas tem algumas características semelhantes, como um horizonte de eventos e uma singularidade central. A solução de Kerr também prevê a existência de uma "ergosfera", uma região fora do horizonte de eventos onde o espaço-tempo é arrastado juntamente com a rotação do buraco negro, um efeito conhecido como arrasto do referencial.

Em escalas cosmológicas, as soluções mais importantes das equações de Einstein são as métricas de Friedmann-Lemaître-Robertson-Walker (FLRW). Essas métricas descrevem universos homogêneos e isotrópicos, que se expandem ou contraem ao longo do tempo. As métricas FLRW são caracterizadas por um fator de escala $a(t)$, que descreve como as distâncias entre galáxias mudam com o tempo, e um parâmetro de curvatura $k$, que pode ser positivo (universo fechado), negativo (universo aberto) ou zero (universo plano).

As métricas FLRW levam às equações de Friedmann, que descrevem a evolução do fator de escala $a(t)$ em termos da densidade de energia $\rho$ e da pressão $p$ da matéria e energia no universo:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Aqui, pontos denotam derivadas em relação ao tempo, e $G$ é a constante de Newton. As equações de Friedmann, combinadas com equações de estado relacionando $\rho$ e $p$, fornecem a base para o modelo padrão do Big Bang na cosmologia. Elas preveem que o universo começou em um estado quente e denso, e tem se expandido e resfriado desde então. O modelo tem sido espetacularmente bem-sucedido em explicar uma ampla gama de observações cosmológicas, desde a expansão do universo até a radiação cósmica de fundo em micro-ondas.

No entanto, o modelo padrão do Big Bang não está isento de problemas. O modelo prevê que o universo primordial teria que ser extremamente uniforme, com regiões que não poderiam ter tido contato causal tendo propriedades quase idênticas. Isso é conhecido como o problema do horizonte. O modelo também prevê a existência de monopolos magnéticos, que nunca foram observados. Essas e outras questões levaram ao desenvolvimento da teoria da inflação cósmica na década de 1980.

A inflação postula que o universo muito cedo passou por um período de expansão exponencial, impulsionado pela energia de um campo escalar chamado inflaton. Essa rápida expansão teria suavizado quaisquer inomogeneidades iniciais, solucionando o problema do horizonte. Também teria diluído qualquer monopolos magnéticos a níveis não observáveis. A inflação faz várias previsões, como um universo ligeiramente não-plano e um espectro específico de flutuações de densidade primordial, que foram confirmadas por observações da radiação cósmica de fundo em micro-ondas.

Outro grande avanço na cosmologia foi a descoberta da energia escura no final da década de 1990. Observações de supernovas distantes mostraram que a expansão do universo está acelerando, contrariando as expectativas do modelo padrão do Big Bang apenas com matéria e radiação. Essa aceleração é atribuída a um componente misterioso chamado energia escura, que age como uma pressão negativa, empurrando o universo para longe. O modelo mais simples para a energia escura é a constante cosmológica, originalmente introduzida por Einstein como uma modificação de suas equações para permitir um universo estático. A constante cosmológica é equivalente à energia do vácuo, e é caracterizada por uma equação de estado $p=-\rho$.

O modelo padrão atual da cosmologia, conhecido como modelo Lambda-CDM, inclui tanto a energia escura na forma de uma constante cosmológica ($\Lambda$) quanto a matéria escura fria (CDM), uma forma de matéria que interage apenas gravitacionalmente, e que é necessária para explicar a formação de galáxias e a estrutura em larga escala do universo. O modelo Lambda-CDM tem sido extremamente bem-sucedido ao se ajustar a uma ampla gama de dados cosmológicos, mas a natureza física tanto da matéria escura quanto da energia escura continua sendo um dos maiores mistérios da física.

Conclusão

A teoria geral da relatividade de Einstein fornece uma descrição bela e profunda da gravidade como a curvatura do espaço-tempo. A formalização matemática da geometria de Riemann e do cálculo tensorial nos permite quantificar essa curvatura e sua relação com a presença de matéria e energia. As equações de campo de Einstein, a principal equação da teoria, foram resolvidas em diversos casos importantes, levando a previsões de fenômenos como buracos negros e a expansão do universo.

A aplicação da relatividade geral à cosmologia levou ao desenvolvimento do modelo do Big Bang, que descreve a evolução do universo desde um estado inicial quente e denso até sua fase atual de expansão. A descoberta da matéria escura e da energia escura exigiu extensões desse modelo, resultando no modelo padrão atual da cosmologia, o modelo Lambda-CDM. Apesar de seus sucessos, a teoria da relatividade geral não é a palavra final sobre a gravidade. A teoria se desfaz no centro dos buracos negros e no início do universo, onde os efeitos quânticos se tornam importantes. Unificar a relatividade geral com a mecânica quântica continua sendo um dos grandes desafios da física teórica. Candidatos para uma teoria quântica da gravidade, como a teoria das cordas e a gravidade quântica em loop, são áreas ativas de pesquisa.

Além disso, os mistérios da matéria escura e da energia escura sugerem que nossa compreensão da gravidade e dos conteúdos do universo está longe de ser completa. Observações contínuas e futuras, desde detectores de ondas gravitacionais até missões espaciais que estudam o fundo cósmico de micro-ondas, prometem trazer novas perspectivas sobre esses mistérios e testar a relatividade geral em condições cada vez mais extremas.