Rozdział 6: Zakrzywiony czasoprzestrzeń

W poprzednich rozdziałach już widzieliśmy, jak specjalna teoria względności zrewolucjonizowała nasze rozumienie przestrzeni i czasu, łącząc je w czterowymiarową czasoprzestrzeń Minkowskiego. Następnie zobaczyliśmy, jak zasada równoważności i wnioski z teorii względności doprowadziły Einsteina do jego ogólnej teorii względności, w której grawitacja nie jest już siłą, a manifestacją zakrzywionej czasoprzestrzeni. W tym rozdziale zajmiemy się głębszym zanurzeniem w matematyczny opis zakrzywionej czasoprzestrzeni, który dostarcza geometria Riemanna i rachunek tensorowy. Zobaczymy, jak ten formalizm prowadzi do równań pola Einsteina, głównego równania rządzącego dynamiką krzywizny czasoprzestrzeni. Na koniec przeanalizujemy niektóre z kluczowych rozwiązań tych równań, które dostarczą nam modeli do zrozumienia zjawisk od czarnych dziur po ewolucję wszechświata jako całości.

Matematyka zakrzywowanej czasoprzestrzeni

Kluczowym spostrzeżeniem ogólnej teorii względności Einsteina jest to, że grawitacja nie jest siłą w zwykłym sensie, ale raczej manifestacją zakrzywienia czasoprzestrzeni. W obecności materii i energii czasoprzestrzeń staje się zakrzywiona, a to zakrzywienie postrzegamy jako grawitację. Aby podać precyzyjny matematyczny opis zakrzywionej czasoprzestrzeni, Einstein zwrócił się do narzędzi geometrii Riemanna i rachunku tensorowego, opracowanych w XIX wieku przez matematyków takich jak Gauss, Riemann, Ricci i Levi-Civita.

W geometrii Riemanna zakrzywiona przestrzeń jest opisana przez tensor metryczny, zazwyczaj oznaczany jako $g_{\mu\nu}$. Metryka koduje wszystkie informacje na temat geometrii przestrzeni, pozwalając nam obliczyć odległości, kąty i objętości. W czterowymiarowej czasoprzestrzeni metryka jest macierzą 4x4, z indeksami $\mu$ i $\nu$ biegnącymi od 0 do 3 (gdzie 0 zwykle jest zarezerwowane dla wymiaru czasu). Metryka jest symetryczna, oznacza to, że $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$, więc ma 10 niezależnych składników.

Dzięki metryce możemy obliczyć przedział czasoprzestrzenny $ds$ między dwoma zbliżonymi zdarzeniami, uogólniając przedział Minkowskiego z teorii względności:

$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$

Tutaj, $dx^\mu$ reprezentuje nieskończenie małe przemieszczenie w $\mu$-tym współrzędnej. Stosuje się konwencję sumowania Einsteina, co oznacza, że powtarzające się indeksy są sumowane.

Metryka umożliwia również zdefiniowanie pojęcia równoległego transportu, który umożliwia porównywanie wektorów (i tensorów) w różnych punktach zakrzywionej przestrzeni. W płaskiej przestrzeni równoległy transport jest trywialny - wektor utrzymuje swoje kierowanie podczas przemieszczania się po ścieżce. Ale w zakrzywionej przestrzeni równoległy transport zależy od ścieżki, prowadząc do zjawisk takich jak efekt geodezyjny (obrót wektora równolegle transportowanego wzdłuż zamkniętej ścieżki).

Zakrzywienie czasoprzestrzeni jest zakodowane w tensorze krzywizny Riemanna $R_{\mu\nu\rho\sigma}$, który jest konstruowany z metryki i jej pochodnych. Tensor Riemanna mierzy niekomutatywność równoległego transportu, czyli jak bardzo wektor się zmienia, gdy jest równolegle transportowany wzdłuż dwóch różnych ścieżek. Jeśli tensor Riemanna jest zerowy wszędzie, przestrzeń jest płaska (euklidesowa lub Minkowskiego). Niezerowe składniki tensora Riemanna wskazują na obecność krzywizny.

Z tensora Riemanna możemy skonstruować tensor Ricciego $R_{\mu\nu}$ przez skontraktowanie (sumowanie po) dwóch z indeksów:

$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$

Tensor Ricciego z kolei można skontraktować, aby otrzymać skalar Ricciego $R$:

$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$

Tensor Ricciego i skalarny stanowią miarę lokalnej krzywizny w każdym punkcie czasoprzestrzeni.

Mając te narzędzia pod ręką, możemy teraz zapisać równania pola Einsteina, główne równanie ogólnej teorii względności.

Równania Pola Einsteina

Równania Pola Einsteina Einsteina dostarczają dynamicznego opisu związku między krzywizną czasoprzestrzeni a obecnością materii i energii. Równania, w najbardziej zwartej formie, brzmią:

$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$

Tutaj, $G_{\mu\nu}$ jest tensorem Einsteina, zdefiniowanym jako:

$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$

Tensor Einsteina koduje informacje na temat krzywizny czasoprzestrzeni. Po prawej stronie, $T_{\mu\nu}$ to tensor naprężenia-energii, który opisuje gęstość i strumień energii i pędu w czasoprzestrzeni. Stała $8\pi$ jest wybrana tak, aby pasować do granicy Newtona tej teorii.

Tensor naprężenia-energii $T_{\mu\nu}$ to symetryczny tensor 4x4, którego składniki mają fizyczne interpretacje:

• $T_{00}$ reprezentuje gęstość energii
• $T_{0i}$ i $T_{i0}$ reprezentują gęstość pędu (strumień energii)
• $T_{ij}$ reprezentuje naprężenie (ciśnienie)

Dla doskonałej cieczy tensor naprężenia-energii przyjmuje postać:

$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$

gdzie $\rho$ to gęstość energii, $p$ to ciśnienie, a $u^\mu$ to czteroprędkość cieczy.

Równania pola Einsteina to zbiór 10 sprzężonych nieliniowych równań różniczkowych cząstkowych dla składników metryki $g_{\mu\nu}$. Równania te są powszechnie uznawane za trudne do ogólnego rozwiązania, wymagając wyspecjalizowanych technik matematycznych i często metod numerycznych. Niemniej jednak znaleziono wiele dokładnych rozwiązań, które dostarczyły głębokiego zrozumienia natury grawitacji i struktury wszechświata.

Rozwiązania równań Einsteina

Pierwsze dokładne rozwiązanie równań Einsteina zostało znalezione przez Karla Schwarzschilda w 1916 roku, zaledwie kilka miesięcy po opublikowaniu przez Einsteina swojej teorii. Rozwiązanie Schwarzschilda opisuje geometrię czasoprzestrzeni na zewnątrz sferycznie symetrycznej masy, takiej jak gwiazda nierotująca lub czarna dziura. Metryka dla rozwiązania Schwarzschilda jest:

$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$

Tutaj, $M$ oznacza masę obiektu centralnego, a $(r,\theta,\phi)$ to współrzędne sferyczne. Rozwiązanie Schwarzschilda ma kilka niezwykłych cech:

• Dla $r=2M$ metryka wydaje się być osobliwa. Promień ten, zwany promieniem Schwarzschilda lub horyzontem zdarzeń, jest miejscem, w którym prędkość ucieczki równa się prędkości światła. Jeśli masa jest skompresowana wewnątrz tego promienia, tworzy się czarna dziura.
• Dla $r<2M$ role $r$ i $t$ są zamienione. Poruszanie się w kierunku mniejszego $r$ jest jak poruszanie się w przód w czasie, co oznacza, że raz znajdując się za horyzontem zdarzeń, nie można uniknąć dotarcia do centralnej osobliwości przy $r=0$.
• Rozwiązanie Schwarzschilda przewiduje istnienie czarnych dziur, jednej z najbardziej ekscentrycznych i fascynujących przewidywań ogólnej teorii względności.

Inne ważne rozwiązanie to metryka Kerra, odkryta przez Roya Kerra w 1963 roku. Rozwiązanie Kerra opisuje czasoprzestrzeń wokół obracającej się czarnej dziury. Jest znacznie bardziej złożone od metryki Schwarzschilda, ale ma kilka podobnych cech, takich jak horyzont zdarzeń i centralną osobliwość. Rozwiązanie Kerra przewiduje również istnienie "ergosfery", regionu poza horyzontem zdarzeń, w którym czasoprzestrzeń jest przesuwana wraz z rotacją czarnej dziury, efekt ten nazywany jest przenoszeniem ramki.

Na kosmologicznych skalach najważniejsze rozwiązania równań Einsteina to metryki Friedmanna-Lemaître-Robertsona-Walkera (FLRW). Te metryki opisują homogeniczne i izotropowe wszechświaty, które rozszerzają się lub kurczą w czasie. Metryki FLRW są charakteryzowane przez współczynnik skali $a(t)$, który opisuje jak zmieniają się odległości między galaktykami wraz z upływem czasu, oraz przez parametr krzywizny $k$, który może być dodatni (zamknięty wszechświat), ujemny (otwarty wszechświat) lub równy zero (płaski wszechświat).

Metryki FLRW prowadzą do równań Friedmanna, które opisują ewolucję współczynnika skali $a(t)$ w zależności od gęstości energii $\rho$ i ciśnienia $p$ materii i energii we wszechświecie:

$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$

$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$

Tutaj kropki oznaczają pochodne czasowe, a $G$ to stała grawitacji Newtona. Równania Friedmanna, w połączeniu z równaniami stanu opisującymi zależność między $\rho$ i $p$, stanowią podstawę standardowego modelu Wielkiego Wybuchu w kosmologii. Przewidują one, że wszechświat rozpoczął się w gorącym, gęstym stanie i od tego czasu się rozszerza i chłodzi. Model ten okazał się spektakularnie skuteczny w wyjaśnianiu szerokiego zakresu obserwacji kosmologicznych, od rozszerzania się wszechświata do promieniowania tła kosmicznego mikrofalowego.

Jednak standardowy model Wielkiego Wybuchu nie jest pozbawiony problemów. Model przewiduje, że wczesny wszechświat musiał być niezwykle jednorodny, z obszarami, które nie mogły być w kontakcie przyczynowym, mając niemal identyczne właściwości. Jest to znane jako problem horyzontu. Model również przewiduje istnienie monopolów magnetycznych, które nigdy nie zostały zaobserwowane. Te i inne problemy doprowadziły do rozwoju teorii inflacji kosmicznej w latach 80. XX wieku.

Infalcja zakłada, że bardzo wczesny wszechświat przeszedł przez okres wykładniczej ekspansji, napędzanej energią pola skalarnego zwanej inflatonem. Ta szybka ekspansja wyrównałaby wszelkie początkowe niejednorodności, rozwiązując problem horyzontu. W rezultacie również rozcieńczyłaby wszelkie monopolowe magnesy do nieobserwowalnych poziomów. Inflacja przewiduje kilka zjawisk, takich jak nieco nierówny wszechświat i określony spektrum pierwotnych fluktuacji gęstości, które zostały potwierdzone przez obserwacje tła promieniowania mikrofalowego.

Kolejnym ważnym osiągnięciem w kosmologii było odkrycie ciemnej energii pod koniec lat 90. Obserwacje dalekich supernowych wykazały, że ekspansja wszechświata przyspiesza, wbrew oczekiwaniom standardowego modelu Wielkiego Wybuchu opartego tylko na materii i promieniowaniu. Ten przyspieszony rozrost jest przypisywany tajemniczej składnikowi zwanej ciemną energią, która działa jak negatywne ciśnienie, rozpychając wszechświat. Najprostszym modelem dla ciemnej energii jest stała kosmologiczna, pierwotnie wprowadzona przez Einsteina jako modyfikacja jego równań, aby umożliwić istnienie statycznego wszechświata. Stała kosmologiczna jest równoważna energii próżni i charakteryzuje się równaniem stanu $p=-\rho$.

Obecny standardowy model kosmologii, znany jako model Lambda-CDM, obejmuje zarówno ciemną energię w postaci stałej kosmologicznej ($\Lambda$), jak i zimną ciemną materię (CDM), formę materii oddziałującej tylko grawitacyjnie, która jest potrzebna do wyjaśnienia powstawania galaktyk i struktury wszechświata na dużą skalę. Model Lambda-CDM odniósł ogromny sukces w dopasowaniu szerokiej gamy danych kosmologicznych, ale fizyczna natura zarówno ciemnej materii, jak i energii pozostaje jedną z największych tajemnic fizyki.

Wnioski

Ogólna teoria względności Einsteina dostarcza pięknego i głębokiego opisu grawitacji jako zakrzywienia czasoprzestrzeni. Matematyczny formalizm geometrii riemannowskiej i rachunku tensorowego pozwala nam kwantyfikować to zakrzywienie i jego związek z obecnością materii i energii. Równania pola Einsteina, główne równanie tej teorii, zostały rozwiązane w kilku ważnych przypadkach, prowadząc do przewidywań zjawisk takich jak czarne dziury i ekspansja wszechświata.

Zastosowanie ogólnej teorii względności do kosmologii doprowadziło do opracowania modelu Wielkiego Wybuchu, który opisuje ewolucję wszechświata od gorącego, gęstego stanu początkowego do obecnej fazy ekspansji. Odkrycie ciemnej materii i ciemnej energii wymagało rozszerzeń tego modelu, prowadząc do obecnego standardowego modelu kosmologii, modelu Lambda-CDM. Mimo swoich sukcesów, ogólna teoria względności nie jest ostatecznym słowem na temat grawitacji. Teoria rozpada się w centrum czarnych dziur i na samym początku wszechświata, gdzie ważne stają się kwantowe efekty. Unifikacja ogólnej teorii względności z mechaniką kwantową pozostaje jednym z głównych wyzwań fizyki teoretycznej. Kandydaci na kwantową teorię grawitacji, takie jak teoria strun i pętle kwantowe, są aktywnymi obszarami badań.

Ponadto, tajemnice ciemnej materii i ciemnej energii sugerują, że nasze zrozumienie grawitacji i zawartości wszechświata jest dalekie od kompletności. Trwające i przyszłe obserwacje, od detektorów fal grawitacyjnych po misje satelitarne badające kosmiczne tło mikrofalowe, obiecują rzucić nowe światło na te tajemnice i testować ogólną teorię względności w coraz bardziej ekstremalnych warunkach.