Hoofdstuk 8: Algoritme-analysemethoden

In de vorige hoofdstukken hebben we een breed scala aan fundamentele algoritmen en datastructuren verkend, waarbij we onderwerpen als sorteren, zoeken, grafen, strings en diverse toepassingen behandelden. Hoewel het implementeren en begrijpen van deze algoritmen cruciaal is, is het even belangrijk om hun prestatie-eigenschappen te analyseren om weloverwogen beslissingen te nemen bij het selecteren van algoritmen voor specifieke problemen. In dit hoofdstuk duiken we in de technieken die worden gebruikt om algoritmen te analyseren en te evalueren, met de nadruk op wiskundige modellen, empirische studies en algoritme-visualisatie.

Wiskundige modellen en analyse

Wiskundige analyse is een krachtig hulpmiddel voor het begrijpen van het gedrag en de prestaties van algoritmen. Door wiskundige modellen te ontwikkelen die de essentiële kenmerken van een algoritme vastleggen, kunnen we redeneren over de efficiëntie en schaalbaarheid ervan. Deze modellen stellen ons in staat om voorspellingen te doen over de uitvoeringstijd, geheugengebruik en andere prestatiemaatstaven van een algoritme, waardoor we verschillende algoritmen kunnen vergelijken en de meest geschikte kunnen kiezen voor een bepaalde taak.

Big-O-notatie

Een van de meest gebruikte notaties voor het beschrijven van de prestaties van een algoritme is de big-O-notatie. Big-O-notatie biedt een bovengrens voor de groeisnelheid van een functie, waardoor we het worst-case scenario van de uitvoeringstijd of ruimtecomplexiteit van een algoritme kunnen karakteriseren.

In big-O-notatie drukken we de prestaties van een algoritme uit als een functie van de invoergrootte, meestal aangeduid als n. Neem bijvoorbeeld de volgende eenvoudige functie die de som berekent van de eerste n positieve gehele getallen:

public static int sum(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        sum += i;
    }
    return sum;
}

De uitvoeringstijd van deze functie groeit lineair met de invoergrootte n. We kunnen dit uitdrukken in big-O-notatie als O(n), wat aangeeft dat de uitvoeringstijd evenredig is met de invoergrootte. Dit betekent dat naarmate deHier is de Nederlandse vertaling van het bestand:

Naarmate de invoergrootte toeneemt, neemt de uitvoeringstijd van het algoritme hoogstens lineair toe.

Big-O-notatie stelt ons in staat om constante factoren en lagere-orde termen te negeren en ons te concentreren op de dominante term die de groeisnelheid van de functie bepaalt. Bijvoorbeeld, beschouw de volgende functie:

public static int sumOfSquares(int n) {
    int sum = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++) {
        for (int j = 1; j <= i; j++) {
            // Tel de waarden op
            sum += j;
        }
    }
    return sum;
}

De uitvoeringstijd van deze functie is evenredig met het kwadraat van N. Om precies te zijn, is het aantal keer dat de instructie sum += j wordt uitgevoerd 1 + 2 + ... + N ~ N^2/2.

In het algemeen kunnen we de uitvoeringstijd van een programma uitdrukken in termen van de invoergrootte met behulp van Big-O-notatie. Hiermee kunnen we leidende coëfficiënten en lagere-orde termen onderdrukken en ons concentreren op het belangrijkste: de orde van groei van de uitvoeringstijd.

Knuth-Morris-Pratt-algoritme

Het Knuth-Morris-Pratt (KMP)-algoritme is een efficiënt deeltekenreekszoekalgoritme dat gebruik maakt van een vooraf berekende "mislukkingsfunctie" om onnodige vergelijkingen te vermijden.

De mislukkingsfunctie vertelt ons de lengte van het langste juiste voorvoegsel van het patroon dat ook een achtervoegsel is van de deeltekenreeks van het patroon die we tot nu toe hebben vergeleken. Hierdoor kunnen we "vooruit springen" in de tekst wanneer we een mismatch vinden, in plaats van terug te gaan.

Hier is een voorbeeld van het KMP-algoritme:

Tekst:    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
Patroon: "abracadabra"
Uitvoer:  [13]

Het KMP-algoritme heeft een uitvoeringstijd van O(n + m), waardoor het veel efficiënter is dan de brute-force benadering voor grote teksten en patronen.

Boyer-Moore-algoritme

Het Boyer-Moore-algoritme is een ander efficiënt deeltekenreekszoekalgoritme dat werkt door het patroontekenreeks voor te verwerken. In tegenstelling tot KMP, dat de vergelijkingen vanaf het begin van het patroon start, start Boyer-Moore vanaf het einde en werkt achterwaarts.

Het sleutelidee achter Boyer-Moore is het gebruik van twee vooraf berekende functies: de "goede achtervoegsel"Hier is de Nederlandse vertaling van het bestand:

Functie en de "slechte teken" functie. Deze functies stellen ons in staat om vooruit te springen in de tekst wanneer we een mismatch vinden, vergelijkbaar met KMP.

Hier is een voorbeeld van het Boyer-Moore-algoritme:

Tekst:    "abacadabrabracabracadabrabrabracad"
Patroon: "abracadabra"
Uitvoer:  [13]

Boyer-Moore heeft een best-case uitvoertijd van O(n/m) en een worst-case uitvoertijd van O(n * m), maar in de praktijk is het vaak het snelste substring-zoekalgoritme voor grote alfabetten.

Reguliere Expressies

Reguliere expressies zijn een krachtig hulpmiddel voor het beschrijven van patronen in strings. Ze bieden een beknopte en flexibele notatie voor het matchen, zoeken en manipuleren van tekst.

Een reguliere expressie is een reeks tekens die een zoekpatroon definiëren. De eenvoudigste vorm van een reguliere expressie is een letterlijke tekenreeks, zoals "hello", die exact de tekenreeks "hello" overeenkomt. Reguliere expressies bevatten echter ook speciale tekens en constructies die complexere patronen mogelijk maken:

• . (punt) komt overeen met elk afzonderlijk teken.
• * (asterisk) komt overeen met nul of meer voorkomens van het voorafgaande teken of groep.
• + (plus) komt overeen met één of meer voorkomens van het voorafgaande teken of groep.
• ? (vraagteken) komt overeen met nul of één voorkomen van het voorafgaande teken of groep.
• ^ (caret) komt overeen met het begin van een regel.
• $ (dollar) komt overeen met het einde van een regel.
• [] (vierkante haken) definiëren een tekenklasse, waarbij wordt gezocht naar elk afzonderlijk teken binnen de haken.

Hier zijn enkele voorbeelden van reguliere expressies en de patronen die ze matchen:

• a.b komt overeen met elke tekenreeks van drie tekens die begint met "a" en eindigt met "b", zoals "acb", "a5b" of "a b".

• a*b komt overeen met elke tekenreeks die bestaat uit nul of meer "a"-tekens gevolgd door een enkele "b", zoals "b", "ab", "aab" of "aaab".

• a+b komt overeen met elke tekenreeks die bestaat uit één of meer "a"-tekens gevolgd door een enkele "b", zoals "ab", "aab" of "aaab", maar niet "b".

• a?b komt overeen met ofwel "ab" of "b".

• ^a komt overeen met elke tekenreeks die begint met "a".Hier is de Nederlandse vertaling van het bestand met "a":

• a$ komt overeen met elke tekenreeks die eindigt op "a".

• [aeiou] komt overeen met een willekeurig enkel klinkerkarakter.

Reguliere expressies worden ondersteund door veel programmeertalen en hulpprogramma's, waaronder Java, Python en Unix-hulpprogramma's zoals grep en sed. Ze worden veel gebruikt voor taken zoals gegevensvalidatie, tekstverwerking en loganalyse.

Gegevenscompressie

Gegevenscompressie is het proces van het coderen van informatie met behulp van minder bits dan de oorspronkelijke weergave. Dit is nuttig voor het verminderen van opslagvereisten en verzendingstijden. Er zijn twee hoofdtypen compressie: verliesvrij en met verlies. Verliesvrije compressie maakt het mogelijk om de oorspronkelijke gegevens perfect te reconstrueren uit de gecomprimeerde gegevens, terwijl compressie met verlies toestaat dat er enig informatieverlies is in ruil voor hogere compressieverhoudingen.

Run-Length Encoding

Run-length encoding (RLE) is een eenvoudige verliesvrije compressietechniek die herhaalde reeksen identieke symbolen (runs) vervangt door een enkel exemplaar van het symbool en een telling van het aantal keren dat het wordt herhaald.

Hier is een voorbeeld van RLE:

Invoer:  "AAAABBBCCCDDDEEE"
Uitvoer: "4A3B3C3D3E"

RLE is effectief voor gegevens met veel lange runs, zoals eenvoudige grafische afbeeldingen. Het kan echter de grootte van de gegevens daadwerkelijk vergroten als er weinig of geen runs zijn.

Huffman-codering

Huffman-codering is een verliesvrij compressie-algoritme dat variabele lengtecodering toekent aan symbolen op basis van hun frequenties in de invoergegevens. Frequentere symbolen krijgen kortere codes toegewezen, terwijl minder frequente symbolen langere codes krijgen.

Het algoritme werkt door een binaire boom, een Huffman-boom genaamd, van onderaf naar boven op te bouwen. Elk bladknooppunt vertegenwoordigt een symbool en zijn frequentie, terwijl elk interne knooppunt de som van de frequenties van zijn kinderen vertegenwoordigt. De boom wordt opgebouwd door herhaaldelijk de twee knooppunten met de laagste frequenties samen te voegen totdat er nog maar één knooppunt over is.

Zodra de boom is opgebouwd, wordt de code voor elk symbool bepaald door het pad van de wortel naarHier is de Nederlandse vertaling van het Markdown-bestand, waarbij de code-opmerkingen zijn vertaald:

De corresponderende bladknoop, met een linkertak die een "0" vertegenwoordigt en een rechtertak die een "1" vertegenwoordigt.

Hier is een voorbeeld van Huffman-codering:

Invoer:  "AAAABBBCCCDDDEEE"
Uitvoer: "000010011001011100101"

Huffman-boom:
      (15)
     /    \
   (7)    (8)
   / \    / \
 (4) (3) (3) (5)
 /\  /\  /\  /\
A B  C D E

In dit voorbeeld is "A" toegewezen aan de code "00", "B" aan "01", "C" aan "10", "D" aan "110" en "E" aan "111". De gecomprimeerde uitvoer wordt verkregen door elk symbool in de invoer te vervangen door de bijbehorende code.

Huffman-codering is een optimale voorvoegselcode, wat betekent dat geen enkele code een voorvoegsel is van een andere code. Dit maakt ondubbelzinnige decodering van de gecomprimeerde gegevens mogelijk. Huffman-codering wordt veel gebruikt in verschillende bestandsformaten en compressie-hulpprogramma's, zoals JPEG, MP3 en ZIP.

Lempel-Ziv-Welch (LZW) Compressie

Lempel-Ziv-Welch (LZW) compressie is een op woordenboek gebaseerd compressie-algoritme dat een woordenboek (of codeboek) van tekenreeksen opbouwt tijdens het comprimeren van de invoer. LZW wordt veel gebruikt in bestandscompressie-hulpprogramma's en werd gebruikt in het GIF-beeldformaat.

Het sleutelprincipe achter LZW is het vervangen van tekenreeksen door enkele codes. Het leest de invoertekenreeks teken voor teken en codeert de tekenreeks in een compacte representatie door elke code met een vaste lengte te vervangen door een code met een variabele lengte. Hoe langer de tekenreeks, hoe meer ruimte er wordt bespaard door deze als één getal te coderen.

Hier volgt een stapsgewijze beschrijving van hoe LZW-compressie werkt:

1. Initialiseer het woordenboek met alle tekenreeksen van één teken.
2. Zoek de langste tekenreeks W in het woordenboek die overeenkomt met de huidige invoer.
3. Geef de woordenboekindex voor W af aan de uitvoer en verwijder W uit de invoer.
4. Voeg W gevolgd door het volgende symbool in de invoer toe aan het woordenboek.
5. Ga naar stap 2.

Laten we een voorbeeld bekijken. Stel dat we de tekenreeks "ABABABABA" willen comprimeren met behulp van LZW.

1. Initialiseer het woordenboek met "A" en "B".

2. De langste overeenkomst is "A". Geef de index ervan af aan de uitvoer en verwijder "A" uit de invoer.

3. Voeg "A" gevolgd door het volgende symbool "B" toe aan het woordenboek.

4. Ga naar stap 2.Hier is de Nederlandse vertaling van het bestand:

5. De langste overeenkomst is "B". Emitteer zijn index (1) en verwijder het uit de invoer. Het woordenboek bevat nu "A", "B" en "AB".

6. De langste overeenkomst is "B". Emitteer zijn index (1) en verwijder het uit de invoer. Het woordenboek bevat nu "A", "B" en "AB".

7. De langste overeenkomst is "AB". Emitteer zijn index (2) en verwijder het uit de invoer. Het woordenboek bevat nu "A", "B", "AB" en "BA".

8. De langste overeenkomst is "ABA". Emitteer zijn index (4) en verwijder het uit de invoer. Het woordenboek bevat nu "A", "B", "AB", "BA" en "ABA".

9. De langste overeenkomst is "BA". Emitteer zijn index (3). De invoer is nu leeg.

De gecomprimeerde weergave van "ABABABABA" is dus de reeks indexen [1], wat minder bits vereist om weer te geven dan de oorspronkelijke ASCII-weergave.

Decompressie werkt op een vergelijkbare manier, maar in omgekeerde volgorde:

1. Initialiseer het woordenboek met alle enkeltekens strings.
2. Lees een code X uit de invoer.
3. Geef de string voor X uit het woordenboek weer.
4. Als de vorige code bestaat, voeg dan de vorige string samengevoegd met het eerste teken van de string voor X toe aan het woordenboek.
5. Ga naar stap 2.

LZW-compressie is eenvoudig en snel, waardoor het een goede keuze is voor veel toepassingen. Het heeft echter ook enkele beperkingen. De grootte van het woordenboek kan aanzienlijk toenemen en veel geheugen verbruiken. Bovendien wordt het woordenboek na elke invoerblok gereset, wat de compressieratio voor kleine bestanden kan verminderen.

Ondanks deze beperkingen blijft LZW een populair en effectief compressie-algoritme, vooral voor toepassingen waar snelheid belangrijker is dan het bereiken van de hoogst mogelijke compressieratio's.

Conclusie

In dit hoofdstuk hebben we verschillende belangrijke string-verwerkingsalgoritmen onderzocht, waaronder string sorts, tries, substring zoeken, reguliere expressies en gegevenscompressie. Deze algoritmen vormen de basis voor veel real-world toepassingen en zijn essentiële tools voor elke programmeur die met tekstuele gegevens werkt.

We zijn begonnen met het bespreken van string sorts, die op...Hier is de Nederlandse vertaling van het Markdown-bestand:

Geoptimaliseerde sorteeralgoritmen die gebruik maken van de speciale eigenschappen van strings. Key-indexed counting, LSD radix sort en MSD radix sort bieden efficiënte methoden voor het sorteren van strings op basis van hun individuele tekens.

Vervolgens hebben we tries onderzocht, een boomachtige gegevensstructuur voor het opslaan en ophalen van strings. Tries maken snel voorvoegselzoeken mogelijk en worden veel gebruikt in toepassingen zoals automatisch aanvullen en IP-routingtabellen.

Substring-zoekalgoritmen, zoals de Knuth-Morris-Pratt- en Boyer-Moore-algoritmen, stellen ons in staat om efficiënt naar patronen binnen grotere strings te zoeken. Deze algoritmen hebben talrijke toepassingen in tekstbewerking, computationele biologie en informatiewinning.

Reguliere expressies bieden een krachtige en flexibele manier om string-patronen te beschrijven. We hebben de basissyntaxis van reguliere expressies besproken en hoe ze kunnen worden gebruikt voor patroonherkenning en string-manipulatie in verschillende programmeertalen en tools.

Ten slotte hebben we gegevenscompressie-algoritmen onderzocht, die de grootte van gegevens verkleinen door redundantie en patronen binnen de invoer te benutten. We hebben run-length encoding, Huffman-codering en Lempel-Ziv-Welch-compressie behandeld, elk met hun eigen sterke punten en toepassingen.

Het begrijpen van deze string-verwerkende algoritmen en gegevensstructuren is cruciaal voor iedereen die met tekstuele gegevens werkt. Naarmate de hoeveelheid ongestructureerde gegevens blijft groeien, zal het vermogen om strings efficiënt te manipuleren, doorzoeken en comprimeren alleen maar waardevoller worden. Door de technieken die in dit hoofdstuk zijn behandeld, te beheersen, zult u goed uitgerust zijn om een breed scala aan string-verwerkende uitdagingen in uw eigen projecten en toepassingen aan te pakken.