الفصل 6: الزمكان المنحني
في الفصول السابقة، رأينا كيف غيّرت نظرية النسبية الخاصة فهمنا للزمان والمكان، وجمعتهما في زمكان مينكوفسكي رباعي الأبعاد. ثم رأينا كيف قادت مبدأ المعادلة ودروس النظرية النسبية الخاصة أينشتاين إلى نظريته العامة للنسبية، وفيها لم تعد الجاذبية قوة بل تجلّت بوجود الزمكان المنحني. في هذا الفصل، سنغوص بمرجعية الرياضيات الوصفية للزمكان المنحني التي يوفرها الهندسة رايمانية وحسابات التوتار. سنرى كيف يؤدي هذا النظام إلى معادلات ميدان أينشتاين، المعادلة الرئيسية التي تحكم ديناميكيات انحناء الزمكان. في النهاية، سنستكشف بعض الحلول الرئيسية لهذه المعادلات التي تقدم لنا نماذج لفهم الظواهر تتراوح من الثقوب السوداء إلى تطور الكون ككل.
الرياضيات للزمكان المنحني
الفهم الأساسي لنظرية أينشتاين العامة للنسبية هو أن الجاذبية ليست قوة في المعنى التقليدي، بل هي تجلّي لانحناء الزمكان. في حضور المادة والطاقة، ينحني الزمكان، وهذا الانحناء هو ما نشعر به كجاذبية. لإعطاء وصف رياضي دقيق للزمكان المنحني، توجه أينشتاين نحو أدوات هندسة رايمانية وحسابات التوتار التي وضعها عالمون مثل غاوس ورايمان وريتشي وليفي-شيفيتا في القرن 19.
في الهندسة الرايمانية، يوصف المساحة المنحنية بواسطة توتار المترية، المشار إليه عادة بـ $g_{\mu\nu}$. يُعرِّف التوتار المتري كل المعلومات عن هندسة المساحة، مما يسمح لنا بحساب البُعد والزوايا والأحجام. في زمكان رباعي الأبعاد، يكون التوتار المتري مصفوفة بحجم 4x4، مع المؤشِّرات $\mu$ و $\nu$ تتراوح من 0 إلى 3 (حيث يُحجز الرقم 0 عادةً للبُعد الزمني). التوتار المتري متناظر، مما يعني أن $g_{\mu\nu} = g_{\nu\mu}$، وبالتالي يحتوي على 10 مكوِّنات مستقلة.
يسمح لنا التوتار المتري بحساب فاصل الزمكان الزماني $ds$ بين حدثين مجاورين، محددًا فاصل الزمكان المينكوفسكي للنظرية النسبية الخاصة:
$$ds^2 = g_{\mu\nu} dx^\mu dx^\nu$$هنا، $dx^\mu$ يُمثِّل التنقُّلُ التحليلي البسيط في الإحداثية $\mu$-th. يُستخدَم اتفاق الجمع الإينشتايني، معنى ذلك أن المؤشِّرات المُكرَّرة يتم جمعها.
يسمح التوتار المتري أيضًا بتعريف مفهوم النقل المتوازي، والذي يتيح لنا مقارنة الفِقْتَر (والتوترات) في نقاط مختلفة في المساحة المنحنية. في المساحة المستوية، النقل المتوازي مباشر - يحافظ الفِقْتَر على اتجاهه أثناء نقله على طول مسار. ولكن في المساحة المنحنية، يعتمد النقل المتوازي على المسار، مما يؤدي إلى ظواهر مثل التأثير الجيودي (دوران الفِقْتَر مع النقل المتوازي على مسار مغلق).
تُشَفِّر انحناء الزمكان في توتار انحناء رايمان $R_{\mu\nu\rho\sigma}$، الذي يتم بناؤه من المتري وتفريقاتها. يقيس توتار رايمان عدم الانتظام في النقل المتوازي، أي مقدار تغير الفِقْتَر عند النقل المتوازي على طول مسارين مختلفين. إذا كان توتار رايمان صفرا في كل مكان، الفضاء مستوٍ (أو أوروبي أو مينكوفسكي). المكوِّنات غير الصفرية لتوتار رايمان تشير إلى وجود الانحناء.
من توتار رايمان، يمكننا بناء توتار ريتشي $R_{\mu\nu}$ من خلال تقليص (جمعها) مؤشرين:
$$R_{\mu\nu} = R^\rho_{\mu\rho\nu}$$يمكن تقليص توتار ريتشي بدوره لإعطاء الرقم العلمي لريتشي $R$:
$$R = g^{\mu\nu} R_{\mu\nu}$$توفر توتار ريتشي والرقم العلمي مقياسًا للانحناء المحلي في كل نقطة في الزمكان.
مع وجود هذه الأدوات بأيدنا، يمكننا الآن كتابة معادلات حقل أينشتاين، المعادلة الرئيسية للنسبية العامة.
معادلات حقل أينشتاين
توفر معادلات حقل أينشتاين وصفًا ديناميكيًا لكيفية ارتباط انحناء الزمكان بوجود المادة والطاقة. تقرأ المعادلات، في أكثر شكل مضغوط لها، كالتالي:
$$G_{\mu\nu} = 8\pi T_{\mu\nu}$$هنا، $G_{\mu\nu}$ هو توتار أينشتاين، يُعرَّف على أنه:
$$G_{\mu\nu} = R_{\mu\nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu\nu}$$توتار أينشتاين يُشفِّر معلومات حول انحناء الزمكان. على الجانب الأيمن، $T_{\mu\nu}$ هو توتار ضغط-طاقة، والذي يصف كثافة وتدفق الطاقة والزخم في الزمكان. يتم اختيار الثابت $8\pi$ ليتطابق مع الحد الجديدي للنظرية.
يُمثَّل $T_{\mu\nu}$ توتار متناظر بحجم 4x4، يحدد مكونات لها تفسيرات فيزيائية:
$T_{00}$يُمثِّل كثافة الطاقة$T_{0i}$و$T_{i0}$يُمثِّلان كثافة الزخم (تدفق الطاقة)$T_{ij}$يُمثِّل التوتُّر (الضغط)
لسائل كامل، يأخذ توتار ضغط-طاقة الشكل التالي:
$$T_{\mu\nu} = (\rho + p)u_\mu u_\nu + pg_{\mu\nu}$$حيث $\rho$ هي كثافة الطاقة، $p$ هي الضغط، و $u^\mu$ هو السرعة الأربعية للسائل.
معادلات حقل أينشتاين هي مجموعة من 10 معادلات تفاضُلية جزئية مرتبطة لمكوِّنات التوتار المقطعي $g_{\mu\nu}$. تعتبر المعادلات صعبة التصحيح بشهرة عامة، متطلبةً تقنيات رياضية متطورة وكثيرًا من الأحيان تقنيات عددية. ومع ذلك، تم العثور على عدد من الحلول الدقيقة، التي قدمت نظرة عميقة في طبيعة الجاذبية وهيكل الكون.
حلول لمعاديل أينشتاين
تم العثور على أول حل دقيق لمعاديل أينشتاين بواسطة كارل شوارتزشيلد في عام 1916، بضعة أشهر فقط بعد نشر أينشتاين لنظريته. يصف الحل شوارتزشيلد الانحناء الزمكاني خارج كتلة تتمتع بتناظر كروي، مثل نجمة غير دوارة أو ثقب أسود. المتري لحل شوارتزشيلد هو:
$$ds^2 = -\left(1-\frac{2M}{r}\right)dt^2 + \left(1-\frac{2M}{r}\right)^{-1}dr^2 + r^2(d\theta^2 + \sin^2\theta d\phi^2)$$هنا ، $M$ هي كتلة الجسم المركزي ، و $(r , \theta , \phi)$ هي إحداثيات كروية. تتمتع الحلقة شوارزشيلد بعدة ميزات رائعة:
- في حالة $r = 2M$ ، يبدو المقياس وكأنه يصبح غير ناهية. يطلق على هذا النصف قطر ، الشعاع الشوارزشيلد أو الحد الأفقي للأحداث ، مكان تساوي فيه سرعة الهروب سرعة الضوء. إذا تم ضغط الكتلة ضمن هذا النصف القطري ، فإنها تشكل حفرة سوداء.
- بالنسبة لِ
$r < 2M$، يتم تبديل دور اللاعبين $r$ و $t$. التحرك إلى $r$ أصغر يشبه التقدم في الزمن ، وهذا يعني أنه بمجرد دخولك إلى الحد الأفقي للأحداث ، لا يمكنك تجنب الوصول إلى الفجوة المركزية في $r=0$. - يتنبأ حل شوارزشيلد بوجود الحفر الأسود ، واحدة من أكثر التوقعات الغريبة والساحرة لنظرية النسبية العامة.
حل آخر مهم هو قياس كير ، الذي وُجد من قبل روي كير في عام 1963. يصف قياس كير الفضاء الزمني حول حفرة سوداء دوارة. إنه أكثر تعقيدًا بشكل كبير من قياس شوارزشيلد ، لكنه له بعض الميزات المشابهة ، مثل حد الأحداث والفجوة المركزية. يتنبأ حل كير أيضًا بوجود منطقة "اليرغوسفير" ، وهي المنطقة خارج الحد الأفقي للأحداث حيث يتم سحب الفضاء الزمني مع دوران الحفرة السوداء ، وهي ظاهرة تعرف باسم سحب الإطار.
في المقاييس الكونية ، تعتبر المقاييس التي تشمل معادلات أينشتاين ليميتر روبرتسون ووكر (FLRW) هي الأكثر أهمية. تصف هذه المقاييس الكونات المتجانسة والمتجانسة ، والتي تتوسع أو تنكمش مع مرور الوقت. تتميز مقاييس FLRW بمعامل المقياس $a(t)$ ، الذي يصف كيفية تغير المسافات بين المجرات مع الوقت ، ومعامل الانحناء $k$ ، والذي يمكن أن يكون إيجابيًا (كون مغلق) ، سالبًا (كون مفتوح) ، أو صفرًا (كون مسطح).
تؤدي مقاييس FLRW إلى معادلات فريدمان ، التي تصف تطور معامل القياس $a(t)$ فيما يتعلق بكثافة الطاقة $\rho$ والضغط $p$ للمادة والطاقة في الكون:
$$\left(\frac{\dot{a}}{a}\right)^2 = \frac{8\pi G}{3}\rho - \frac{k}{a^2}$$
$$\frac{\ddot{a}}{a} = -\frac{4\pi G}{3}(\rho + 3p)$$هنا ، يشير النقاط إلى المشتقات الزمنية ، و $G$ هو الثابت النيوتني. المعادلات الفريدمان ، جنبًا إلى جنب مع معادلات الحالة المتعلقة بـ $\rho$ و $p$ ، توفر الأساس لنموذج الانفجار الكبير القياسي لعلم الكون. يتنبأون بأن الكون بدأ في حالة ساخنة وكثيفة ، وتم التوسع والتبريد منذ ذلك الحين. كان هذا النموذج ناجحًا بشكل مذهل في تفسير مجموعة واسعة من الملاحظات المرتبطة بالكون ، بدءًا من توسع الكون إلى الإشعاع المتناثر الكوني.
ومع ذلك ، فإن نموذج الانفجار الكبير القياسي ليس بدون مشاكله. يتنبأ النموذج بأنه يجب أن يكون للكون المبكر أن يكون ذو تجانس شديد ، مع مناطق لم تكن في اتصال سببي ولكنها كانت لها خصائص متطابقة تقريبًا. ويعرف هذا باسم مشكلة الأفق. يتنبأ النموذج أيضًا بوجود القطبات المغناطيسية ، والتي لم يتم مشاهدتها من قبل. أدت هذه المسائل وغيرها إلى تطوير نظرية التضخم الكوني في الثمانينيات.
يفترض التضخم أن الكون المبكر جرى له فترة تمددية قوية ، تم تحقيقها بواسطة طاقة زالتارية تسمى مجال المنتفخ. هذا التمدد السريع سيكون له القدرة على توحيد أي عدم تجانسات أولية ، مما يحل مشكلة الأفق. كما أنه سيقلل من كميات قطبات المغناطيسية إلى مستويات غير مرئية. يصدر التضخم العديد من التنبؤات ، مثل كون غير مسطح قليلاً وطيف محدد من التذبذبات الكثافة الأولية ، وقد تم تأكيدها بواسطة ملاحظات الإشعاع المتناثر الكوني.
أحد التطورات الرئيسية الأخرى في علم الكونولوجيا هو اكتشاف الطاقة الظلامية في أواخر التسعينيات. أظهرت الملاحظات على الفجائع البعيدة أن تمدد الكون يتسارع ، على خلاف توقعات نموذج الانفجار الكبير القياسي مع المواد والإشعاع وحدهما. يعزى هذا التسارع إلى جزء غامض يسمى الطاقة المظلمة ، والتي تعمل مثل ضغط سلبي يدفع الكون بعيداً. النموذج الأبسط للطاقة المظلمة هو الثابت الكوني ، التي أدخلها إينشتاين في الأصل كتعديل لمعادلاته للسماح بوجود كون ثابت. الثابت الكوني هو ما يعادل طاقة الفراغ ، وهو مميز بمعادلة الحالة $p = -\rho$.
النموذج القياسي الحالي لعلم الكونية ، المعروف باسم نموذج لامبدا-CDM ، يشمل كلًا من الطاقة المظلمة على شكل ثابت كوني ($\Lambda$) والمادة المظلمة الباردة (CDM) ، وهي شكل من أشكال المادة التي تتفاعل فقط بالجاذبية ، والتي تساعد في تفسير تكون المجرات والهيكل الكبير للكون. نموذج لامبدا-CDM ناجح للغاية في تناسب مجموعة واسعة من البيانات الكونية ، ولكن الطبيعة الفيزيائية للمادة المظلمة والطاقة المظلمة لا تزال أحد أكبر ألغاز الفيزياء.
الاستنتاج
نظرية أينشتاين العامة للنسبية توفر وصفًا جميلًا وعميقًا للجاذبية كمنحنى للفضاء الزمني. يسمح لنا الشكل الرياضي للهندسة الرياضية وحساب الفروق بين المتجهات بقياس هذا الانحناء وعلاقته بوجود المادة والطاقة. تم حل معادلات حقل أينشتاين ، المعادلة الرئيسية للنظرية ، في عدد من الحالات الهامة ، مما أدى إلى توقعات لظواهر مثل الحفر الأسود وتوسع الكون.
تطبيق النسبية العامة على علم الاجتماع أدى إلى تطوير نموذج الانفجار الكبير ، الذي يصف تطور الكون من حالة أولية ساخنة وكثيفة إلى مرحلته الحالية المتمددة. استدعى اكتشاف المادة المظلمة والطاقة المظلمة الحاجة إلى توسيع هذا النموذج ، مما يؤدي إلى النموذج القياسي الحالي لعلم الكونية ، نموذج لامبدا-CDM. على الرغم من نجاحاتها ، إلا أن النسبية العامة ليست الكلمة النهائية في الجاذبية. تنهار النظرية في مركز الثقوب السوداء وفي بداية الكون نفسه ، حيث تصبح التأثيرات الكمومية مهمة. يظل توحيد النسبية العامة مع الميكانيكا الكمية أحد أعظم التحديات في الفيزياء النظرية. تعد المرشحات لنظرية الجاذبية الكمومية ، مثل نظرية الأوتار والجاذبية اللفائفية ، مناطق نشطة في البحث.
علاوة على ذلك ، فإن أسرار المادة المظلمة والطاقة المظلمة تشير إلى أن فهمنا للجاذبية ومحتويات الكون لا يزال غير كامل. التحليلات المستمرة والمراقبة المستقبلية ، من أجهزة كشف الأمواج الجاذبة إلى المهام الفضائية التي تدرس الخلفية الكونية لأشعة الميكروويف ، تعد وعودًا لتسليط الضوء على هذه الأسرار واختبار النسبية العامة في ظروف أكثر تطرفًا.